La esponja Menger , a veces denominada esponja Menger-Sierpinski , es un fractal sólido . Se trata de la ampliación en una tercera dimensión del conjunto de Cantor y la alfombra de Sierpinski . Fue descrito por primera vez por el matemático austriaco Karl Menger ( Menger 1926 ).
Esponja de Menger después de cuatro iteraciones .
Cara de una esponja de Menger o alfombra de Sierpiński .
Esponja de Menger cortada por un plano transversal.
Esponja de Menger con trazado de rayos .
Formalmente, la esponja Menger es el conjunto:
donde esta el cubo unitario y
La construcción de una esponja Menger se puede describir de la siguiente manera:
El sólido obtenido en el límite, después de un número infinito de iteraciones, es la esponja de Menger.
En cada iteración, multiplicamos el número de cubos por 20, de modo que el sólido creado en la iteración n contenga 20 n cubos.
La esponja de Menger es un fractal cuya dimensión de Hausdorff es aproximadamente 2.726 833.
Cada lado de la esponja Menger es una alfombra Sierpinski . Cualquier intersección de la esponja de Menger con una diagonal o una mediana del cubo inicial es un conjunto de Cantor . La esponja Menger es un espacio cerrado ; dado que también está acotado, el teorema de Heine-Borel establece que también es compacto . La esponja Menger es un conjunto incontable de medida cero Lebesgue .
La dimensión topológica de la esponja Menger es igual a 1; También fue construido inicialmente por Menger para explorar el concepto de dimensión topológica. Menger demostró que la esponja es una curva universal, es decir, cualquier curva unidimensional (en el sentido de que su dimensión topológica es igual a 1) es homeomorfa para un subconjunto de la esponja.
De manera similar, el triángulo de Sierpinski es una curva universal para cualquier curva en un espacio bidimensional. La esponja de Menger extiende esta noción a curvas tridimensionales. El razonamiento puede extenderse a cualquier número de cualquier dimensión.