En geometría euclidiana , un polígono regular es un polígono que es tanto equilátero (todos sus lados tienen la misma longitud) como equiángulo (todos sus ángulos tienen la misma medida). Un polígono regular es convexo o en estrella .
Todos los polígonos convexos regulares con el mismo número de lados son similares . Cualquier polígono regular con estrella de n lados tiene una envolvente convexa de n lados, que es un polígono regular. Un número entero n mayor o igual que 3 ya que hay un polígono regular convexo de n lados.
En algunos contextos, todos los polígonos considerados serán convexos y regulares. Entonces se acostumbra dar a entender los dos epítetos "convexo regular". Por ejemplo, todas las caras de los poliedros uniformes deben ser convexas y regulares y las caras se describirán simplemente como triángulo , cuadrado , pentágono ...
Las múltiples propiedades de los polígonos regulares han llevado a su estudio matemático desde la antigüedad y a diversas interpretaciones simbólicas , religiosas o mágicas .
Un polígono es regular si y solo si es equilátero y se puede escribir (en un círculo ).El centro y el radio de este círculo se denominan entonces centro y radio del polígono.
Un polígono es regular si, y solo si, hay una rotación que envía cada vértice al siguiente.Esta (única) rotación también envía a cada lado al siguiente.
Por lo tanto, cualquier polígono regular es no solo equilátero y equiángulo (por definición), sino incluso isotoxal e isogonal .
Un polígono con n lados es regular si y solo si su grupo de simetría es "tan grande como sea posible": de orden 2 n .Este grupo es entonces el grupo diedro D n , formado por las rotaciones de C n (el grupo de simetría rotacional de orden n - si n es par, el polígono tiene por tanto un centro de simetría) y de n simetrías axiales cuyos ejes atraviesan el centro. Si n es par, la mitad de estos ejes pasa por dos vértices opuestos y la otra mitad por los puntos medios de dos lados opuestos. Si n es impar, entonces cada eje pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto.
Cualquier polígono regular es autodual .De hecho, la rotación mencionada anteriormente caracteriza completamente al polígono ( similitud casi directa ).
Los polígonos regulares con n vértices (considerados con gran similitud) están en biyección con los números primos con n y entre 1 y n / 2
(por lo tanto, para n > 2, hay φ ( n ) / 2, donde φ denota el indicador Euler ) .De hecho, la rotación es de orden n, por lo que su ángulo mide 2 k π / n rad para un determinado número entero k primo con n . Además, dos ángulos dan el "mismo" polígono si y solo si son iguales o opuestos.
Un polígono regular (convexo o estrella) con n bordes se puede construir con la regla y el compás si y solo si n es el producto de una potencia de 2 por números primos de Fermat distintos ( véase el artículo " Teorema de Gauss-Wantzel " ). Los únicos números primos de Fermat conocidos son 3, 5, 17, 257 y 65.537.
El polígono convexo regular con n lados corresponde al ángulo de rotación 2π / n .
Para un polígono convexo regular con n lados.
La distancia entre el centro del polígono y cada uno de los lados se llama apotema (este es el radio del círculo inscrito ).
Los datos de una de las tres longitudes (lado a , radio ρ o apotema h ) permiten conocer las otras dos y por tanto caracterizar el polígono.
Si denotamos por c = a / 2 la mitad del lado a de un polígono regular con n lados, estas longitudes están relacionadas por el teorema de Pitágoras :
y mediante las siguientes fórmulas de trigonometría (los ángulos se expresan en radianes):
de lo que deducimos respectivamente:
El perímetro P de un polígono convexo regular con n lados ( n ≥ 3) de longitud a es, por supuesto, igual a na . En cuanto a su área S , es la suma de las áreas de n triángulos ( isósceles ) de altura h (la apotema) y base a , por lo tanto:
.De las relaciones anteriores entre a , h y el radio ρ del polígono, deducimos:
;la última igualdad también utiliza una identidad trigonométrica : .
Desde pecado x es equivalente a x como x tiende a 0, el perímetro tiende a 2n ρ como n tiende a infinito, y el área a ¸ ρ 2 . Encontramos la circunferencia del círculo y el área del disco .
Los polígonos convexos regulares tienen una propiedad notable, conocida desde los griegos . Entre todos los polígonos con el mismo número de lados y el mismo perímetro, el que es convexo regular tiene el área más grande. Esta área, siempre más pequeña que la del círculo del mismo radio, se acerca a ella a medida que n se hace más grande. Estas propiedades se tratan en el artículo " Isoperimetría ".
Valores numéricosLados | apellido | Área exacta si a = 1 | Medio perímetro si ρ = 1 |
---|---|---|---|
3 | Triángulo equilátero | 2.5980762 | |
4 | Cuadrado | 2.8284271 | |
5 | Pentágono regular | 2.9389263 | |
6 | Hexágono regular | 3.000000 | |
7 | Heptágono regular | 3.0371862 | |
8 | Octágono regular | 3.0614675 | |
9 | Eneagone regular | 3.0781813 | |
10 | Decágono regular | 3.0901699 | |
11 | Hendecágono regular | 3.0990581 | |
12 | Dodecágono regular | 3,1058285 | |
13 | Tridecágono regular | 3,1111036 | |
14 | Tetradecágono regular | 3,1152931 | |
15 | Pentadecágono regular | 3,1186754 | |
dieciséis | Hexadecágono regular | 3.1214452 | |
17 | Heptadecágono regular | 3.1237418 | |
18 | Octadecágono regular | 3.1256672 | |
19 | Eneadecágono regular | 3,1272972 | |
20 | Icoságono regular | 3,1286893 | |
30 | Triacontagon regular | 3,1358539 | |
100 | Hectagón regular | 3.1410759 | |
1000 | Quiliagon regular | 3.1415875 | |
10,000 | Myriagone regular | 3.1415926 |
Observamos que si el radio es igual a 1, el medio perímetro se acerca cada vez más a π .
Un ejemplo de un polígono de estrella regular (que es equivalente a "regular cruzado " o "regular no convexo") es el pentagrama , que tiene los mismos vértices que el pentágono convexo regular , pero que está conectado por vértices alternos.
Los primeros polígonos estelares son:
Un poliedro uniforme es un poliedro con polígonos regulares para caras, de modo que para cada par de vértices hay una isometría aplicando uno sobre el otro. La palabra polígono proviene de la palabra poli (muchos) y ido (ángulos).