Diagrama de Bode
El diagrama de Bode es una forma de representar la respuesta de frecuencia de un sistema, especialmente electrónico .
Hendrik Wade Bode de Bell Laboratories propuso este diagrama para el estudio gráfico simple de servo y retroalimentación en un dispositivo electrónico . Permite visualizar rápidamente el margen de ganancia, el margen de fase, la ganancia continua, el ancho de banda , el rechazo de perturbaciones y la estabilidad del sistema desde la función de transferencia .
Definición
El diagrama de Bode de un sistema de respuesta en frecuencia consta de dos gráficos:
T(jω) {\ Displaystyle T (j \ omega) \}
- la ganancia (o amplitud) en decibelios (dB). Su valor se calcula a partir de .20Iniciar sesión10(|T(jω)|) {\ Displaystyle 20 \ log _ {10} {(| T (j \ omega) |)} \}
- la fase en grados, dada porarg(T(jω)) {\ Displaystyle \ arg {(T (j \ omega))} \}
La escala de pulso es logarítmica y se expresa en rad / s (radianes por segundo). La escala logarítmica permite una gráfica muy legible, porque está construida a partir de secciones de una línea recta .
Gráfico asintótico de sistemas analógicos
Tomemos una función de transferencia arbitraria que se escribe de la siguiente manera:
H(pag)=αpagq∏k=1K(1+2ξkpagωk+(pagωk)2)∏l=1L(1+pagωl)∏metro=1METRO(1+2ξmetropagωmetro+(pagωmetro)2)∏no=1NO(1+pagωno){\ Displaystyle H (p) = \ alpha p ^ {q} {\ frac {\ prod _ {k = 1} ^ {K} \ left (1 + 2 \ xi _ {k} {\ frac {p} { \ omega _ {k}}} + \ left ({\ frac {p} {\ omega _ {k}}} \ right) ^ {2} \ right) \ prod _ {l = 1} ^ {L} \ left (1 + {\ frac {p} {\ omega _ {l}}} \ right)} {\ prod _ {m = 1} ^ {M} \ left (1 + 2 \ xi _ {m} {\ frac {p} {\ omega _ {m}}} + \ left ({\ frac {p} {\ omega _ {m}}} \ right) ^ {2} \ right) \ prod _ {n = 1} ^ {N} \ left (1 + {\ frac {p} {\ omega _ {n}}} \ right)}}}
o α∈R ; q∈Z ; ωk,ωl,ωmetro,ωno∈R∗ ; ξk,ξmetro∈R {\ Displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R} \; \ q \ in \ mathbb {Z} \; \ \ omega _ {k}, \ omega _ {l}, \ omega _ {m}, \ omega _ {n} \ in \ mathbb {R} ^ {*} \; \ \ xi _ {k}, \ xi _ {m} \ in \ mathbb {R} \}
Aunque una función de transferencia se puede escribir de varias formas, deben escribirse como se describe anteriormente:
- los términos constantes de los polinomios elementales de primer y segundo grado deben ser válidos . Para hacer esto, use la constante .1{\ Displaystyle 1}α{\ Displaystyle \ alpha}
- Los términos en polinomios elementales de primer y segundo grado deben estar en el numerador. (consulte la reescritura de la función de paso alto a continuación)pag{\ Displaystyle p}
Tenga en cuenta que el módulo de es igual a la suma de los módulos de los términos elementales debido al logaritmo . Lo mismo ocurre con la fase, esta vez debido a la función argumento. Es por eso que inicialmente nos interesarán los diagramas de Bode de términos elementales.
H(pag) {\ Displaystyle H (p) \}
Sistemas de primer orden
Paso bajo
O la función de transferencia:
H(pag)=11+pagω0 {\ Displaystyle H (p) = {\ frac {1} {1 + {\ frac {p} {\ omega _ {0}}}}} \}El pulso se llama pulso de corte .
ω0 {\ Displaystyle \ omega _ {0} \}
Por tanto y .
ω≪ω0, H(jω)≈1 {\ Displaystyle \ omega \ ll \ omega _ {0}, \ H (j \ omega) \ approx 1 \}|HDB(jω)|=0 {\ Displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | = 0 \}arg(H(jω))=0∘ {\ Displaystyle \ arg {(H (j \ omega))} = 0 ^ {\ circ} \}
Por tanto y .
ω≫ω0, H(jω)≈-jω0ω {\ Displaystyle \ omega \ gg \ omega _ {0}, \ H (j \ omega) \ approx -j {\ frac {\ omega _ {0}} {\ omega}} \}|HDB(jω)|=-20Iniciar sesión10(ω)+20Iniciar sesión10(ω0) {\ Displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | = -20 \ log _ {10} (\ omega) +20 \ log _ {10} (\ omega _ {0}) \}arg(H(jω))=-90∘ {\ Displaystyle \ arg {(H (j \ omega))} = - 90 ^ {\ circ} \}
En una referencia logarítmica, da como resultado una pendiente de -20 dB / década o incluso -6 dB / octava . También hablamos de pendiente -1. Por tanto, el diagrama de Bode asintótico del módulo se reduce a dos secciones lineales.
|HDB(jω)| {\ Displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | \}
adentro , o : la curva pasa 3 dB por debajo del punto de corte.
ω0 {\ Displaystyle \ omega _ {0} \}H(jω0)=11+j{\ Displaystyle H (j \ omega _ {0}) = {\ frac {1} {1 + j}}}|HDB(jω0)|=-20Iniciar sesión10(2)=-10Iniciar sesión10(2){\ Displaystyle | H_ {db} (j \ omega _ {0}) | = -20 \ log _ {10} ({\ sqrt {2}}) = - 10 \ log _ {10} (2)}
Paso alto
O la función de transferencia:
H(pag)=11+ω0pag=pagω01+pagω0{\ Displaystyle H (p) = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ omega _ {0}} {p}}}} = {\ frac {\ frac {p} {\ omega _ {0 }}} {1 + {\ frac {p} {\ omega _ {0}}}}}}La gráfica se obtiene tomando el opuesto del módulo en dB y la fase del paso bajo.
Sistemas de segundo orden
Paso bajo
Un sistema de segundo orden del tipo de paso bajo se caracteriza por una función de transferencia del tipo:
H(pag)=H01+2ξpagω0+(pagω0)2 {\ Displaystyle H (p) = {\ frac {H_ {0}} {1 + 2 \ xi {\ frac {p} {\ omega _ {0}}} + \ left ({\ frac {p} {\ omega _ {0}}} \ right) ^ {2}}} \}H0{\ Displaystyle H_ {0}}es la ganancia estática. La pulsación se llama pulsación propia y es la amortiguación.
ω0 {\ Displaystyle \ omega _ {0} \}ξ {\ Displaystyle \ xi \}
- Gráfico asintótico y curva real
En esta parte se considera que la ganancia estática es igual a 1. El diseño asintótico depende del valor de amortiguación. Hay tres casos:
H0{\ Displaystyle H_ {0}}
- ξ >1{\ Displaystyle \ xi \> 1}
Los polos de la función de transferencia son reales (y negativo para la estabilidad), y el sistema se divide en un producto de dos funciones de transferencia de la 1 st ordre.Soit y polos reales de la función de transferencia:
pag1{\ Displaystyle p_ {1}}pag2{\ Displaystyle p_ {2}}
H(pag)=11+2ξpagω0+(pagω0)2=1(1-pagpag1)(1-pagpag2){\ Displaystyle H (p) = {\ frac {1} {1 + 2 \ xi {\ frac {p} {\ omega _ {0}}} + \ left ({\ frac {p} {\ omega _ { 0}}} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {p} {p_ {1}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {p} {p_ {2}}} \ right)}}}
- ξ =1{\ Displaystyle \ xi \ = 1}
Los polos son reales, negativos e iguales (bipolar). Si es un doble polo de la función de transferencia, obtenemos:
pag0{\ Displaystyle p_ {0}}
H(pag)=11+2ξpagω0+(pagω0)2=1(1+pagω0)2{\ Displaystyle H (p) = {\ frac {1} {1 + 2 \ xi {\ frac {p} {\ omega _ {0}}} + \ left ({\ frac {p} {\ omega _ { 0}}} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ left (1 + {\ frac {p} {\ omega _ {0}}} \ right) ^ {2}}} }Por tanto y .
ω≪ω0 H(jω)≈1 {\ Displaystyle \ omega \ ll \ omega _ {0} \ H (j \ omega) \ approx 1 \}|HDB(jω)|=0 {\ Displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | = 0 \}arg(H(jω))=0∘ {\ Displaystyle \ arg {(H (j \ omega))} = 0 ^ {\ circ} \}
Por tanto y .
ω≫ω0 |H(jω)|≈(ω0ω)2 {\ Displaystyle \ omega \ gg \ omega _ {0} \ | H (j \ omega) | \ approx \ left ({\ frac {\ omega _ {0}} {\ omega}} \ right) ^ {2} \}|HDB(jω)|=-40Iniciar sesión10(ω)+40Iniciar sesión10(ω0) {\ Displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | = -40 \ log _ {10} (\ omega) +40 \ log _ {10} (\ omega _ {0}) \}arg(H(jω))=-180∘×sIgramonomi(ω0ξ) {\ Displaystyle \ arg {(H (j \ omega))} = - 180 ^ {\ circ} \ times \ operatorname {sign (\ omega _ {0} \ xi)} \}
En un punto de referencia logarítmico, da como resultado una pendiente de -40 dB / década o incluso -12 dB / octava . También hablamos de pendiente -2. Por tanto, el diagrama de Bode asintótico del módulo se reduce a dos secciones lineales.
|HDB(jω)| {\ Displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | \}
- ξ <1{\ Displaystyle \ xi \ <1}
El diagrama asintótico es el mismo que en el caso anterior. Los polos de la función de transferencia son complejos y conjugados, con una parte real negativa. Cuando , el sistema exhibe resonancia. El máximo del módulo de función de transferencia está entonces en . Por tanto, el pulso correspondiente al máximo es siempre menor que .
ξ<22 {\ Displaystyle \ xi <{\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \}|H(jω)|metroaX=12ξ1-ξ2 {\ Displaystyle | H (j \ omega) | _ {max} = {\ frac {1} {2 \ xi {\ sqrt {1- \ xi ^ {2}}}}} \}ωR=ω01-2ξ2 {\ Displaystyle \ omega _ {R} = \ omega _ {0} {\ sqrt {1-2 \ xi ^ {2}}} \}ωR{\ Displaystyle \ omega _ {R}}ω0{\ Displaystyle \ omega _ {0}}
Paso alto
H(pag)=(pagω0)21+2ξpagω0+(pagω0)2 {\ Displaystyle H (p) = {\ frac {({\ frac {p} {\ omega _ {0}}}) ^ {2}} {1 + 2 \ xi {\ frac {p} {\ omega _ {0}}} + \ izquierda ({\ frac {p} {\ omega _ {0}}} \ derecha) ^ {2}}} \}La gráfica se obtiene tomando el opuesto del módulo en dB y la fase del paso bajo.
De vuelta al caso general
Como señalamos anteriormente, podríamos sumar todos los diagramas de Bode de los términos elementales para obtener el diagrama de la función de transferencia .
H(pag) {\ Displaystyle H (p) \}
Sin embargo, cuando esta función de transferencia es complicada, es más fácil tener en cuenta las contribuciones de cada término a medida que aumenta el pulso .
ω {\ Displaystyle \ omega \}
Al principio, cuando , la asíntota del módulo es una línea de pendiente q (q * 20 dB / Década) y la fase es constante en . Posteriormente, cada vez que se encuentra una pulsación, se modifica el gráfico según el siguiente procedimiento:
ω→0 {\ Displaystyle \ omega \ rightarrow 0 \}q×90∘ {\ Displaystyle q \ times 90 ^ {\ circ} \}
- Porque sumamos +2 a la pendiente del módulo (+40 dB / década) y a la fase.ω=ωk {\ Displaystyle \ omega = \ omega _ {k} \}180∘×sIgramonomi(ωkξk) {\ Displaystyle 180 ^ {\ circ} \ times \ operatorname {sign (\ omega _ {k} \ xi _ {k})} \}
- Porque sumamos +1 a la pendiente del módulo (+20 dB / década) y a la fase.ω=ωl {\ Displaystyle \ omega = \ omega _ {l} \}90∘×sIgramonomi(ωl) {\ Displaystyle 90 ^ {\ circ} \ times \ operatorname {sign (\ omega _ {l})} \}
- Pues sumamos -2 a la pendiente del módulo (-40 dB / década) y a la fase.ω=ωmetro {\ Displaystyle \ omega = \ omega _ {m} \}-180∘×sIgramonomi(ωmetroξmetro) {\ Displaystyle -180 ^ {\ circ} \ times \ operatorname {sign (\ omega _ {m} \ xi _ {m})} \}
- Pues sumamos -1 a la pendiente del módulo (-20 dB / década) y a la fase.ω=ωno {\ Displaystyle \ omega = \ omega _ {n} \}-90∘×sIgramonomi(ωno) {\ Displaystyle -90 ^ {\ circ} \ times \ operatorname {sign (\ omega _ {n})} \}
Trazado de sistemas digitales
Limitación del rango de pulsaciones
Esta vez tenemos una función de transferencia de un sistema discreto.
GRAMO(z)=Z{gramo(no)} {\ Displaystyle G (z) = {\ mathcal {Z}} \ {g (n) \} \}
Para obtener su diagrama de Bode, debemos evaluar la función en el círculo unitario.
En otras palabras, con (obtenemos el círculo completo por simetría).
z=mi2πjν {\ Displaystyle z = e ^ {2 \ pi j \ nu} \}ν∈[0;12]{\ Displaystyle \ nu \ in \ left [0; {\ frac {1} {2}} \ right]}
Si el sistema discreto se obtuvo a partir del muestreo en el período T de un sistema continuo, entonces con .
z=mijωT {\ Displaystyle z = e ^ {j \ omega T} \}ω∈[0;πT]{\ Displaystyle \ omega \ in \ left [0; {\ frac {\ pi} {T}} \ right]}
Además, las relaciones y no son racionales en . En consecuencia, el estudio de la ruta es complicado y requiere recursos informáticos.
|GRAMO(z)|z=mi2πjν {\ Displaystyle | G (z) | _ {z = e ^ {2 \ pi j \ nu}} \}argramo(GRAMO(z)z=mi2πjν) {\ Displaystyle \ operatorname {arg (G (z) _ {z = e ^ {2 \ pi j \ nu}})} \}ν {\ Displaystyle \ nu \}
Transformación bilineal
Sin embargo, existe una aplicación que permite reducir al caso continuo:
z=2T+w2T-w {\ Displaystyle z = {\ frac {{\ frac {2} {T}} + w} {{\ frac {2} {T}} - w}} \}o la función recíproca w=2Tz-1z+1 {\ Displaystyle w = {\ frac {2} {T}} {\ frac {z-1} {z + 1}} \}
Esta es una transformación de Möbius .
Esta transformación hace que el eje imaginario del dominio continuo se corresponda con el círculo unitario
del dominio discreto con : de hecho al plantear , entonces cuál es un complejo dividido por su conjugado, por lo tanto de módulo 1. También está escrito , por lo tanto el argumento de es la mitad del módulo : argumento .
w=jΩ {\ Displaystyle w = j \ Omega \}z=mijωT {\ Displaystyle z = e ^ {j \ omega T} \}ω=2Tarvstano(TΩ2) {\ Displaystyle \ omega = {\ frac {2} {T}} \ operatorname {arctan \ left ({\ frac {T \ Omega} {2}} \ right)} \}Z=2T+jΩ{\ Displaystyle Z = {\ frac {2} {T}} + j \ Omega}z=2T+jΩ2T-jΩ=ZZ∗ {\ Displaystyle z = {\ frac {{\ frac {2} {T}} + j \ Omega} {{\ frac {2} {T}} - j \ Omega}} = {\ frac {Z} {Z ^ {*}}} \}z=Z2|Z|2 {\ Displaystyle z = {\ frac {Z ^ {2}} {| Z | ^ {2}}} \}Z {\ Displaystyle Z \}z {\ Displaystyle z \}π {\ Displaystyle \ pi \}argramo(Z)≡arvstano(Ω2T) [π]≡12ωT [π]{\ Displaystyle \ operatorname {arg (Z)} \ equiv \ operatorname {arctan \ left ({\ frac {\ Omega} {\ frac {2} {T}}} \ right)} \ [\ pi] \ equiv { \ frac {1} {2}} \ omega T \ [\ pi]}
Sin embargo, cuando tenemos , en cuyo caso nos encontramos en el caso continuo de una fracción racional a estudiar. Entonces podemos volver a un estudio clásico de sistemas analógicos al saber que los valores del diagrama cercano están contaminados con un error.
ωT≪1{\ Displaystyle \ omega T \ ll 1}ω≈Ω {\ Displaystyle \ omega \ approx \ Omega \}ω∈[0;πT]{\ Displaystyle \ omega \ in \ left [0; {\ frac {\ pi} {T}} \ right]}ω=πT {\ Displaystyle \ omega = {\ frac {\ pi} {T}} \}
Ver también
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