En física ( mecánica ), la flexión es la deformación de un objeto bajo la acción de una carga. Da como resultado una curvatura. En el caso de una viga, tiende a juntar sus dos extremos. En el caso de una placa, tiende a acercar dos puntos diametralmente opuestos bajo la acción.
La prueba de flexión de una viga es una prueba mecánica que se utiliza para probar la resistencia a la flexión. Uno utiliza la flexión conocida como " tres puntos " y la flexión conocida como " cuatro puntos ".
En calderería , el plegado de una chapa es un plegado para el que queremos superar el límite elástico del material, para tener una deformación definitiva ( deformación plástica ). En la mayoría de los otros casos, por el contrario, se buscan las condiciones necesarias para no superar el límite elástico, con el fin de preservar la integridad de la pieza.
En teoría del haz , consideramos fibras, es decir pequeños cilindros de materiales generados por una porción dS y una curva paralela a la curva media (la “dirección del haz”); la curva media pasa por los centros de gravedad de los tramos rectos (tramos perpendiculares a la curva media). Las fibras ubicadas hacia el exterior de la flexión están en extensión, están sometidas a tracción . Las fibras ubicadas dentro de la flexión están en compresión .
La fibra generada por la curva media se denomina "fibra neutra". Mantiene su longitud al doblarse.
Posteriormente, a menos que se indique lo contrario, asumiremos que la viga es rectilínea antes de doblarse (la curva promedio forma una línea recta) y que las secciones son simétricas. Inicialmente consideraremos la flexión del plano, es decir, con cargas que actúan en un plano de simetría de la viga.
Debido a la hipótesis de Bernoulli (durante la deformación, las secciones planas perpendiculares a la fibra promedio permanecen planas y perpendiculares a la fibra promedio),
la deformación longitudinal ε varía linealmente en función de y .
Además, considerando una viga recta, si llamamos u y ( x ) a la deflexión , es decir, al desplazamiento vertical del punto de la curva media situado en la abscisa x debido a la flexión, tenemos, según la definición general del radio de curvatura :
.El gráfico u y ( x ) da la forma de la curva media, también llamada "deformación de la viga".
DemostraciónSi consideramos un elemento infinitesimal de la viga, entonces las fibras forman arcos concéntricos de círculos con el mismo ángulo dθ. Si ρ es el radio de curvatura de la fibra neutra ( y = 0), entonces la longitud l de un arco situado en una ordenada es la pena:
si l 0 es la longitud inicial de las fibras. Vemos que la deformación longitudinal
varía linealmente en función de y .
Si consideramos las fuerzas de cohesión (ver los artículos Teoría de vigas y Cohesión torsor ), la flexión resulta de los momentos flectores M f y y M f z .
Consideraremos aquí la convención de esfuerzos de la derecha.
Observamos que el valor de la fuerza cortante es la derivada del momento flector en comparación con la posición x del punto considerado:
.El diagrama de momentos flectores se puede establecer mediante el método funicular .
Pongámonos en el caso de un momento flector positivo M f z ; en el plano (G xy ), las fibras son concéntricas, el centro O se ubica hacia arriba. La longitud del arco es proporcional al radio, es decir, varía linealmente en función de las abscisas consideradas en el mismo . De la misma manera, la tensión normal a la sección varía linealmente según y y se encuentra:
.donde I G z es el momento cuadrático del eje (G z ), calculado según la forma de la sección transversal.
DemostraciónComo la longitud de las fibras, el alargamiento relativo ε es proporcional ay :
por lo tanto, de acuerdo con la ley de Hooke , la tensión también varía linealmente:
,habiendo de determinarse la cantidad E / ρ. Un elemento de superficie pequeño dS recibe una fuerza dF de
.El momento dM f z de esta fuerza en comparación con el punto G (0,0,0) por lo tanto perteneciente a la recta media vale:
El momento flector resulta de todos estos momentos, y al integrarlo en la sección recta, encontramos:
con
Entonces tenemos:
es
.El riesgo de rotura está en la cara extendida de la viga. Si llamamos -V a la ordenada del punto ubicado en esta cara, la restricción vale:
.La cantidad I G z / V se denomina "módulo de flexión elástico" y se indica W el. z :
.Si la viga es simétrica y de altura h , tenemos
Si retenemos como límite el hecho de que el material debe permanecer en el dominio elástico, tenemos en el límite
donde R e es el límite elástico . El límite máximo del momento flector es entonces
.Esto se utilizará para comparar con la flexión plástica.
Nota Como es el valor absoluto de la restricción lo que nos interesa, y que en cualquier caso el signo depende de la convención elegida, a menudo encontramos la expresión Esfuerzo normal para una viga curvaSuponemos que la viga es generada por una curva plana, en el plano ( x , y ), y que la fibra neutra permanece en este plano durante la deformación. Este es el caso típico de un gancho de elevación . El radio de curvatura local (en reposo) se denota r ( x ).
Como en el caso de la viga recta, bajo el efecto del momento flector, las secciones rectas giran, las fibras se estiran o comprimen. Pero a diferencia del caso anterior, las fibras no tienen la misma longitud inicial. La distribución de la tensión a lo largo de y ya no es lineal, sino hiperbólica, de la forma:
.CortarEn la mayoría de los casos, el momento flector va acompañado de una fuerza cortante (T y con M f z , T z con M f y ). Esto genera cission (τ xy para T y y τ xz para T z ). Este esfuerzo cortante solo genera poco riesgo de falla y, por lo tanto, generalmente se descuida (modelo de Bernoulli).
La distribución de las tensiones no es uniforme: la tensión sobre una superficie libre está necesariamente en el plano de la superficie, por lo que la cisión en las caras exteriores es cero. Por tanto, tenemos una cisión que aumenta cuando nos acercamos a la fibra neutra. El esfuerzo máximo vale entonces, si S es el área de la sección transversal:
donde S es el área de la sección recta. Vemos que en estos ejemplos, la tensión es de 1,5 a 2 veces mayor que en el caso de cortante simple.
Se observa que la cisión es máxima donde la tensión normal es cero (con la fibra neutra) y que la tensión normal es máxima donde la cisión es cero (en las caras externas). Por tanto, no existe sinergia entre las dos limitaciones.
DemostraciónUno se coloca en el caso de doblar tres puntos entre los dos primeros apoyos. Consideramos un elemento de viga entre dos secciones rectas colocadas en x y x + d x , y entre la coordenada y y 0 y la parte inferior de la viga de la coordenada y V. Al nivel de la hoja, el ancho de la viga es el .
Este elemento de materia está sujeto a:
El momento flector varía, por lo que la fuerza normal en cada una de las secciones rectas es diferente. Por lo tanto, podemos deducir la cisión por el principio fundamental de la estática (PFS).
La fuerza cortante T y es uniforme entre 0 y la mitad de la viga, y tenemos:
.La fuerza en la cara izquierda es por tanto
o
es el momento estático de la porción de la sección transversal entre V y y 0 .
La fuerza en la cara derecha vale:
.La fuerza resultante es
.Por lo tanto, el PFS está escrito:
es
.Tenemos para las secciones mencionadas:
Vimos arriba que:
Por tanto, se puede determinar la deformación por doble integración:
.Si la viga es de sección uniforme (I G z no varía) del mismo material (E no varía), se satisface integrar el momento flector:
donde A y B son constantes de integración determinadas a partir de las condiciones de contorno:
On s'intéresse en général à la valeur maximale de u y , la « flèche » de la poutre, qui détermine l'état limite en service (ELS, valeur de chargement à ne pas dépasser pour que la forme de la poutre reste compatible avec su función).
Nota A menudo encontramos notación abusiva EI G z y '' = M f z . hay entonces que designa el desplazamiento. Además, las expresiones exactas son: y entonces .La deformación se puede establecer gráficamente mediante el método funicular .
Cuando el radio de curvatura ρ es menor que diez veces la altura h de la sección
ρ < h * 10,las suposiciones ya no son válidas. Sin embargo, si consideramos que:
entonces la tensión normal resultante del momento flector se convierte en
donde S es el área de la sección.
La flexión desviada es el caso donde las cargas no giran la sección alrededor de un eje principal de momento cuadrático; siempre existen al menos dos ejes principales de momento cuadrático cualquiera que sea la sección de la viga.
Haz simétricoEn el caso de una viga simétrica, se puede descomponer el momento flector vectorial en dos componentes distintas de cero M f y y M f z . Si uno permanece en pequeñas deformaciones, el sistema es lineal, por lo que se puede considerar que se tiene una superposición de dos inflexiones planas. Por tanto, vale la pena el estrés normal
.El plano en el que desaparece la tensión se denomina "plano neutro".
Haz asimétricoDeterminamos los ejes principales de inercia Y y Z (ver artículo Momento de inercia ), luego volvemos al caso anterior colocándonos en la referencia (G x YZ):
.La flexión de tres puntos es una prueba mecánica clásica. Representa el caso de una viga colocada sobre dos apoyos simples (apoyos lineales rectilíneos que, en un problema plano, equivalen a una conexión puntual) y sometida a una carga concentrada, aplicada en el centro de la viga con ella también un simple contacto. Uno de los soportes suele modelarse como un pivote para tener una viga que no se mueva horizontalmente.
En la figura opuesta, la viga tiene una longitud L y la carga central es P.
La fuerza de corte es constante en valor absoluto: vale la mitad de la carga central, P / 2. Cambia de signo en medio de la viga. El momento flector varía linealmente entre un extremo, donde es igual a 0, y el centro donde su valor absoluto es igual a PL / 4; aquí es donde el riesgo de rotura es mayor.
El perfil de la viga se describe mediante un polinomio de tercer grado (función en x 3 ) en la mitad de una viga (la otra mitad es simétrica).
Los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores se representan tradicionalmente rellenos de líneas verticales. Esto corresponde a la división de área trapezoidal utilizada para el método gráfico.
Viga sobre dos apoyos con carga puntualEste caso es la generalización de la flexión de tres puntos: la carga no se aplica necesariamente al centro. Esto permite, por ejemplo, representar una carga rodante.
El análisis entre un extremo y el punto de aplicación de la carga es el mismo que para la flexión de tres puntos, pero el problema ya no es simétrico.
Viga empotradaUna viga fija ( viga sujeta , voladizo ) viga o consola, muestra el caso de un asta de bandera, un poste de sello en el suelo, de una viga en voladizo (por ejemplo, un soporte).
Se nota que se comporta como la mitad de una viga al doblar tres puntos, correspondiendo el soporte fijo al centro. El momento flector máximo está al nivel del empotramiento, aquí es donde el riesgo de falla es mayor.
Flexión de cuatro puntosLa principal diferencia con la flexión de tres puntos es entre las dos cargas: el momento de flexión es constante y la fuerza cortante es cero. Esta situación se califica como flexión pura o flexión circular.
Viga sobre dos apoyos con carga uniforme distribuidaUna carga uniforme permite describir el peso propio de la viga, o incluso el peso de un líquido en el caso de una tubería o un tanque.
Viga sobre dos apoyos con carga distribuida linealmenteEste caso se puede utilizar para describir la carga sobre una columna que sostiene una pared vertical con un lado de tierra o agua: la presión aumenta con la profundidad.
Método gráficoLa resolución de problemas de flexión isostática se puede realizar de forma gráfica.
El caso de una viga apoyada e empotrada, por simetría, es perfectamente idéntico al caso de una viga sobre tres apoyos con vanos idénticos (con el apoyo, la pendiente es nula y corresponde a un empotramiento).
Viga sobre tres soportes (grado 1)En el caso de una viga con dos vanos idénticos de longitud l , bajo una carga uniforme q , el momento sobre el apoyo es idéntico al momento en el vano de una sola viga, a saber ; por lo tanto, no se gana nada en términos de resistencia conectando dos vigas en continuidad sobre un soporte común. Por otro lado, el momento máximo en el tramo es válido y la deflexión máxima se reduce en aproximadamente un 40% en comparación con la viga isostática.
Haz bi-incrustado (grado 3)
Carga continua uniformemente distribuida q |
Carga triangular con un máximo de q 0 |
Carga concentrada P |
Par de apriete M 0 |
Inicialmente, se mantiene como criterio de resistencia (estado límite último, ULS) el hecho de que el material debe permanecer en el campo elástico. Por tanto, la carga máxima admisible debe ser tal que
σ máx ≤ R pecon
Por tanto, disponemos voluntariamente de estructuras sobredimensionadas, lo que permite afrontar sobrecargas accidentales.
Si admitimos que ciertas áreas de la viga pueden plastificarse (sufrir deformación plástica), podemos dimensionarlas más pequeñas, así que diseñe una estructura más ligera.
El enfoque generalmente adoptado consiste en:
Cuando la sección está completamente plastificada, el esfuerzo normal vale:
El momento de flexión vale
.Si el haz es simétrico, entonces
donde W pl es el módulo de flexión plástico:
.Tenga en cuenta que tenemos
W pl = 2S zdonde S z es el momento estático de la mitad de la sección.
En comparación con la flexión elástica, se acepta por tanto que la viga sufre un momento de flexión mayor. La relación φ entre estos dos momentos se llama "ganancia" y vale:
.Es un factor de forma: solo depende de la forma de la sección transversal.
Perfil | Ganar |
---|---|
IPN | 1,18 |
IPE | 1,15 |
HEA | 1,15 |
HEB | 1,16 |
UPN | 1,19 |
UAP | 1,18 |
tubo | 1,27 |
plato | 1,5 |
redondo | 1,7 |
Cuando el material entra en el dominio plástico, es necesario poner en juego la noción de rótula plástica , que caracteriza la plastificación local de la viga. El mecanismo de falla de la estructura se puede determinar usando el teorema cinemático o el teorema estático de la mecánica estructural.
En la teoría de placas , consideramos
En la teoría de la placa delgada de Kirchhoff-Love, la hoja media se dobla pero no se estira en su plano (sin deformación de "membrana"), y las fibras normales permanecen perpendiculares a la hoja media durante la deformación. Por tanto, podemos simplemente expresar los desplazamientos u y v de un punto de acuerdo con x y y respectivamente como una función de la altitud z de este punto, de su desplazamiento w de acuerdo con z y de los ángulos θ x y θ y :
u ( x , y , z ) ≃ z · θ y ( x , y ); v ( x , y , z ) ≃ - z · θ x ( x , y );En términos absolutos, la hipótesis de ausencia de deformación de la membrana solo es válida si la superficie puede desarrollarse, es decir, si tiene una sola curvatura ( cilindro o cono de revolución). En el caso general (ver los ejemplos de la esfera y la silla de un caballo ), necesariamente hay un tramo. Por tanto, la suposición es válida sólo si el desplazamiento w es débil en comparación con el espesor h de la placa.
Según la definición del tensor de las deformaciones , se tiene:
donde γ x es la curvatura de la hoja media en el plano xz y γ y en el plano yz .
Los momentos flectores m xy , que actúan sobre la cara normal ax y cuyo vector se dirige a lo largo de y , y m yx , que actúan sobre la cara normal ay y cuyo vector se dirige a lo largo de x , crean una distribución lineal de la tensión normal. Esta situación es similar a la del rayo.
Podemos evaluar las tensiones de la ley de Hooke :
es
donde E es el módulo de Young y ν es la relación de Poisson .
Se pueden relacionar las tensiones normales con los momentos flectores mediante el principio de equivalencia; para eso es necesario elegir una convención, como las convenciones de las fuerzas de la izquierda o de la derecha para las vigas. Aquí, optamos por anotar los momentos positivos si provocan una curvatura hacia abajo, es decir si la cara superior está en compresión (σ ii <0 para z > 0) y la cara inferior está en tensión (σ ii > 0 para z <0).
Entonces, si el elemento de la materia es d x × d y × h , entonces
es
.El termino
se llama rigidez a la flexión . Desempeña el mismo papel que el factor E⋅I G z para la flexión de una viga.
Como tenemos
deducimos las ecuaciones diferenciales :
.En el caso general, m xy m yx son funciones de x y y .
Primero consideraremos el caso simple de una placa rectangular sometida a momentos uniformes en sus bordes; este caso no corresponde a un caso real particularmente interesante, pero permite tener un cierto número de resultados de forma sencilla. Esta situación es similar a la flexión pura de una viga (parte central de la flexión de cuatro puntos).
En nuestro caso particular, estamos en el caso de los torsores de par. Si uno considera un elemento de materia en cualquier lugar de la placa, entonces tiene:
m xy = M x ; m yx = M y .Estas son constantes, por lo que tenemos
En este caso, la solución es sencilla: obtenemos curvaturas uniformes:
con
.Si una de las parejas externas es cero, por ejemplo, M y = 0, entonces tenemos
γ y = -νγ x ,es decir que las dos curvaturas principales son opuestas (curva “anticlástica” de la silla de montar del tipo caballo ). En el caso particular donde M y = νM x , tenemos
γ y = 0es decir que solo tenemos una curvatura en una dirección. Este caso es similar a la flexión pura de una viga, pero el resultado es ligeramente diferente:
El factor de diferencia 1 / (1-ν²) proviene del hecho de que la placa no tiene la posibilidad de extenderse libremente por los lados. En el caso de los metales (ν ≃ 0,3), hay una diferencia de aproximadamente el 10% (1 / (1-ν²) ≃ 1,10).
Si tenemos M y = M x , entonces
γ y = γ x ,por tanto, la placa adopta la forma de un casquete esférico. De hecho, esto es cierto cualquiera que sea la forma de la placa, para cualquier distribución uniforme de momentos.
Presión uniforme Plato cuadrado apoyadoEn el caso de una placa cuadrada de lado a simplemente soportada cargada por una presión uniforme p 0 , la deflexión máxima w max está en el centro y vale:
.Placa circular empotradaEn el caso de una placa circular de radio R empotrada, la deflexión a una distancia r del centro vale
;la deflexión máxima está en el centro y es igual a
.Tenga en cuenta que también podemos escribir la flecha en la forma
.Como se vio anteriormente, las tensiones (y deformaciones) debidas a la flexión en un elemento ( viga o piso ) se concentran principalmente cerca de las fibras inferiores y superiores, mientras que las cercanas a la fibra neutra están muy poco tensas. Por tanto, es posible, por razones de economía de materiales, con fines económicos o para reducir el peso propio del elemento, concentrar el material a una distancia de la fibra neutra y adelgazarlo en su centro. Por eso utilizamos perfiles perfilados en forma de tubo , perfiles laminados (U, I, H, ángulos ), losas nervadas o cajón, ...