La mecánica cuántica es la rama de la física teórica que sucedió a la teoría cuántica y la mecánica ondulatoria para estudiar y describir los fenómenos básicos que operan en los sistemas físicos , particularmente a escala atómica y subatómica .
Fue desarrollado en la década de 1920 por una docena de físicos europeos, para resolver problemas que la física clásica no lograba explicar, como la radiación del cuerpo negro , el efecto fotoeléctrico o la existencia de líneas espectrales . Resultó fructífero en resultados y en varias aplicaciones: permitió en particular dilucidar el misterio de la estructura del átomo y, de manera más general, resultó ser el marco general para describir el comportamiento de las partículas elementales , hasta el punto de constituir el cimiento de la física moderna.
La mecánica cuántica implica profundas dificultades conceptuales. Si su formalismo matemático no tiene paralelo en eficiencia, su interpretación no es unánime en la comunidad científica. Sus conceptos incluyen la dualidad partícula-onda , la superposición cuántica , el entrelazamiento o la no localidad .
El término física cuántica se refiere al cuerpo de teoría más amplio que se basa en la mecánica cuántica para describir un conjunto más amplio de fenómenos, incluidas las interacciones fundamentales en el modelo estándar .
Un cuantomecánico es un especialista en mecánica cuántica y un cuantoquímico es un especialista en química cuántica .
Globalmente, la mecánica cuántica se diferencia de la física clásica en dos aspectos: reglas diferentes sobre la aditividad de probabilidades y la existencia de cantidades físicas que solo pueden manifestarse por múltiplos de cantidades fijas, llamadas cuantos, que dan nombre a la teoría.
En la concepción clásica de las leyes de la probabilidad, cuando un evento puede ocurrir de dos formas diferentes incompatibles entre sí, las probabilidades se suman. Este no es el caso de la mecánica cuántica, donde la probabilidad de un evento está vinculada a una amplitud de probabilidad que probablemente interfiera , incluso de manera destructiva.
Esta propiedad queda ilustrada por la experiencia de las rendijas de Young , consideradas en particular por Richard Feynman como las más emblemáticas del comportamiento cuántico de la materia. En su curso de mecánica cuántica, Feynman dedica un largo capítulo a su análisis detallado. Este experimento también ilustra el concepto de dualidad onda-partícula , que es la base de la interpretación estándar de la teoría.
Actualmente se considera que a escalas macroscópicas, la aparente no observación de este comportamiento probabilístico se explica por un fenómeno llamado decoherencia . Sin embargo, existen otras explicaciones, pero ninguna es unánime: se derivan esencialmente de diferencias en la interpretación de la mecánica cuántica .
La mecánica cuántica deriva su nombre de la existencia de cantidades que solo pueden manifestarse en múltiplos de cantidades fijas, a menudo vinculadas a la constante descubierta por Max Planck . Estas cantidades son, por ejemplo, la energía o el momento angular de las partículas.
La ilustración más obvia y la más rica en consecuencias de este fenómeno se encuentra probablemente en la estructura del átomo y más precisamente en la organización de los electrones alrededor del núcleo. De hecho, los electrones se distribuyen ocupando los lugares que dejan libres los posibles valores de los números cuánticos vinculados a su energía y su momento angular. Esta organización permite explicar el comportamiento químico y espectroscópico de los elementos naturales .
La existencia de cuantos no es una propiedad fundamental de la mecánica cuántica, porque puede demostrarse a partir de otras consideraciones, en particular las relacionadas con la regla sobre la aditividad de probabilidades mencionada anteriormente. Sin embargo, es sin duda uno de los aspectos más característicos de la mecánica cuántica, porque es el que se manifiesta más fácilmente en las ecuaciones, y es históricamente por este aspecto que se descubrió la mecánica cuántica.
Sin duda, es la resolución del problema de la radiación del cuerpo negro lo que marcó el comienzo de la teoría cuántica . A principios del XX ° siglo, Max Planck resuelve efectivamente el problema tomando el supuesto de que la energía de los átomos se pueden negociar en múltiplos de una cantidad determinada, ya que llama la constante de Planck y conocida en adelante como una de las cuatro constantes fundamentales .
Esta idea de cantidades de energía que solo se pueden intercambiar discretamente inspirará a muchos físicos, como Niels Bohr , que la utilizará en particular para desarrollar un modelo de la estructura del átomo. De manera más general, este fue el comienzo de lo que se llamó teoría cuántica .
Poco después del descubrimiento de Planck, Albert Einstein , siguiendo en particular su análisis del efecto fotoeléctrico , sugiere que la cantidad h ν es la energía de una partícula electromagnética que luego se llamará fotón . Esta reintroducción de una concepción corpuscular de la luz animará a Louis de Broglie a proponer una relación similar a la de Planck, pero por la cantidad de movimiento:
donde es un vector de onda . es la llamada constante de Planck reducida .
Al hacerlo, es el instigador de la dualidad de ondas de partículas que animará a ciertos físicos a buscar una descripción de ondas de la materia. Entre ellos, Erwin Schrödinger triunfa y obtiene una ecuación diferencial, que ahora lleva su nombre, que permite describir con precisión la evolución cuántica de una partícula. Esta ecuación demostró rápidamente su relevancia en su descripción del modelo del átomo de hidrógeno .
Al mismo tiempo, Werner Heisenberg había desarrollado un enfoque radicalmente diferente, que se basaba en cálculos matriciales inspirados directamente en la mecánica analítica clásica.
Estos dos enfoques, así como la confusión con respecto al concepto de dualidad de onda de partículas, dieron a la mecánica cuántica emergente una necesidad de aclaración. Esta aclaración se produjo gracias al trabajo de un físico británico, Paul Adrien Dirac .
En un libro publicado en 1930, titulado Principles of Quantum Mechanics , Dirac muestra que los dos enfoques, los de Schrödinger y Heisenberg, son de hecho solo dos representaciones del mismo álgebra lineal . En este trabajo fundacional, Dirac extrae las leyes cuánticas propiamente dichas, ignorando las leyes ya impuestas por la física clásica. Dirac luego ofrece una representación axiomática de la mecánica cuántica, probablemente inspirada en los desarrollos matemáticos de la época, en particular con respecto a la geometría proyectiva .
El trabajo de Dirac había sido precedido unos años antes por el de John Von Neumann , pero el trabajo de Von Neumann era mucho más riguroso matemáticamente, por lo que atraía principalmente a los matemáticos. Los físicos han preferido la de Dirac a él y, por tanto, es esencialmente la obra de Dirac la que ha dejado una posteridad. En el prefacio de una reedición de su libro, Von Neumann menciona el trabajo de Dirac y lo describe como "una representación de la mecánica cuántica que difícilmente puede ser superada en términos de brevedad y elegancia" , pero agrega de todos modos en el siguiente párrafo que su método "no satisface en modo alguno los requisitos del rigor matemático" .
Paul Dirac identifica las propiedades esencialmente cuánticas de los fenómenos físicos y las expresa a través de algunos postulados y conceptos que son la base de la mecánica cuántica. Se presentan aquí de una manera menos formal, más propicia para una comprensión general. El artículo detallado presenta su formulación de una manera más rigurosa pero también más abstracta.
En esencia, un estado cuántico es lo que cuantifica lo que podemos saber sobre un sistema cuántico. Permite calcular las probabilidades y los valores medios medidos de los observables (posición, momento, etc.). Los estados cuánticos se describen matemáticamente mediante un vector de estado en un espacio de Hilbert , representado por una notación dedicada introducida por Dirac, llamada notación bra-ket . A continuación, se escribe un estado cuántico en la forma . La evolución en el tiempo de este vector de estado se describe matemáticamente mediante la función de onda , gobernada por la ecuación de Schrödinger .
Estas dos representaciones se refieren a estados puros , es decir, estados de sistemas cuánticos simples idealizados y aislados, donde cada componente puede cuantificarse y observarse. Para estados mixtos , que representan estados cuánticos en interacción compleja con un entorno o un dispositivo de medición, donde los componentes son demasiado numerosos o inaccesibles para la observación, el estado cuántico se representa más bien mediante una matriz de densidad .
En el caso de la notación bra-ket, expresamos el estado cuántico en función de los estados propios, es decir los estados para los que estamos seguros de que si realizáramos una medición de un observable obtendríamos indudablemente un valor dado. . En general, para estos estados se utiliza el mismo símbolo que se utiliza para identificar este valor. Por ejemplo, cuando estamos seguros de que si realizamos esta medición, el resultado sería un valor , entonces anotamos el estado . Generalmente existe un cierto número (incluso un infinito) de autoestados para un observable dado. Por ejemplo, si nos interesa el espín de una partícula de espín 1/2, obtenemos dos estados propios de dirección opuesta: y . Para la posición observable, un número infinito se obtienen estados propios que corresponden a cada una de las posibles posiciones de ... .
Estos autoestados son vectores ortogonales del espacio vectorial de Hilbert, y forman una base del mismo , ligados a un observable dado. Cualquier estado cuántico se expresa entonces como una combinación lineal de estos estados propios, por ejemplo, un estado generalizado de espín 1/2: siendo ayb números complejos .
Dos estados cuánticos distintos no son necesariamente distinguibles , porque existe la probabilidad de que la medición de dos estados distintos dé el mismo valor medido. Se dice que dos estados cuánticos son distinguibles cuando hay al menos un proceso de medición en el que estamos absolutamente seguros de que los dos estados dan resultados diferentes.
Probablemente el postulado más importante de la mecánica cuántica es el principio de superposición . De acuerdo con este principio, si un sistema físico puede estar en un estado , y si también puede estar en un estado , entonces también puede estar en un estado linealmente compuesto:
donde y son dos números complejos cualesquiera .
En otras palabras, el conjunto de estados posibles de un sistema físico es un espacio vectorial (o más precisamente un espacio de Hilbert , como se mencionó anteriormente), cuya dimensión puede ser arbitraria.
Lo importante es que un estado superpuesto no es un estado que traduce una ignorancia con respecto al estado "real" del sistema, sino una indeterminación intrínseca al sistema, que no está ni en el estado ni en el estado. . Este punto suscitó muchas preguntas en la comunidad científica. En particular, el principio de superposición está en el origen de lo que se llama el problema de la medición cuántica , que Schrödinger popularizó aplicándolo a un gato que, según la paradoja de Schrödinger , no está ni muerto ni vivo.
El principio de superposición también fue analizado y criticado por Einstein quien, con Boris Podolsky y Nathan Rosen , imaginó un experimento, conocido como el experimento EPR , para echarle la culpa. Un experimento similar se llevó a cabo al final de la XX XX siglo por Alain Aspect , que confirmó el principio de superposición.
La regla de Born, que lleva el nombre del físico Max Born , es una interpretación probabilística de los coeficientes lineales del principio de superposición. También se suele llamar interpretación probabilística.
Esta regla se puede ilustrar considerando, por ejemplo , el gato de Schrödinger , mencionado anteriormente, y cuyo estado cuántico se puede escribir de la siguiente manera:
Un experimento que buscara determinar si este gato está vivo o muerto no daría ningún resultado con certeza (de lo contrario, el gato estaría en el estado o en el estado ). De forma simplificada, se puede decir que la regla de Born cuantifica esta incertidumbre al afirmar que la probabilidad de encontrar al gato muerto es igual al cuadrado del módulo de , dividido por la suma de los cuadrados de los módulos de y .
De manera más general, para un sistema cuyo vector de estado es una combinación lineal de estados distinguibles , la probabilidad de que el resultado de la medida que define la distinguibilidad sea el mismo que si el sistema hubiera estado en el estado es:
,donde son los coeficientes lineales del vector de estado.
Para simplificar los cálculos, los vectores de estado generalmente se normalizan para que el denominador sea igual a uno. Esto no afecta los cálculos de probabilidad de ninguna manera. En la práctica, la regla de Born se escribe con mayor frecuencia:
,o :
En el que el coeficiente de proporcionalidad está subtendido por la relación de normalización: ,La regla de Born es uno de los postulados de la mecánica cuántica más difíciles de comprender. También es objeto de controversia, aunque solo sea porque su estatus axiomático es cuestionado por al menos dos interpretaciones: la interpretación de mundos múltiples y la interpretación transaccional . Según estas dos interpretaciones, la regla de Born se puede deducir de consideraciones matemáticas y físicas más profundas.
Cuando, siguiendo un experimento, estamos seguros de obtener siempre el mismo resultado de medición , decimos que el sistema físico considerado se encuentra en el estado . Sin embargo, esto no significa que sepamos con certeza el resultado de una medición realizada con un dispositivo experimental diferente. En otras palabras, incluso el conocimiento completo del estado de un sistema no garantiza el conocimiento perfecto de los resultados de cualquier experimento realizado en él.
Así por ejemplo, si medimos la posición de una partícula en el estado , estamos seguros de que la obtendremos , pero por otro lado no es posible a priori saber con certeza cuál es el resultado de la medición del impulso, porque de lo contrario la partícula también estaría en el estado , lo que no es el caso general y, por tanto, constituye una hipótesis ad-hoc .
De manera más general, si para un determinado proceso de medición A denotamos todos los estados de resultado de medición perfectamente determinados, entonces, en virtud del principio de superposición, todas las combinaciones lineales posibles también son estados posibles para ciertos sistemas:
Estas combinaciones lineales, algunos pueden muy bien ser capaz de perfeccionar las condiciones determinadas para otro proceso de medición B . La pregunta es cuál puede ser el resultado de la medición A para estos estados B "limpios" .
La interpretación probabilística de los coeficientes lineales sugiere que el resultado de la medición, si no es determinista, seguirá siendo estadísticamente igual a la expectativa matemática :
Esta expresión es una forma sesquilínea de los coeficientes . En el subespacio vectorial generado por archivos , podemos escribir esta expresión utilizando un producto escalar en el que la base es ortonormal . Es la elección de este producto escalar lo que da significado a la notación bra-ket: los vectores bra, señalados "a la izquierda", son entonces los elementos del espacio dual del espacio de estados de ket. Entonces tenemos la relación:
donde está el símbolo de Kronecker .
Entonces se puede escribir la expresión de la expectativa matemática:
El término sugiere la introducción del operador lineal cuyos autovectores son los y cuyos autovalores asociados son los posibles valores de los resultados de la medición. Este operador se denomina observable asociado con el proceso de medición A . No es más que una herramienta matemática que permite el cálculo de la expectativa matemática del resultado de la medición, expectativa que luego se escribe:
El interés de tal expresión es que ya no depende explícitamente de la base . Así ganamos en abstracción y simplificamos los cálculos, un poco como en la geometría analítica donde a menudo es más fácil manipular los vectores con su notación abstracta que con sus coordenadas en una base particular.
A partir de consideraciones algebraicas elementales, es fácil convencerse de que el observable es un operador autoadjunto que puede escribirse en función de sus autovectores y autovalores de la siguiente manera:
Cuando tenemos suficientes observables para describir cualquier resultado de medición, decimos que tenemos un conjunto completo de observables conmutados , y esto es en el espacio hermitiano generado por los autovectores de estos observables, en el que trabajamos.
Por construcción, el producto escalar en el espacio de estados permite calcular las probabilidades de los resultados de la medición. Entonces es fácil comprender que los operadores lineales que mantienen este producto escalar juegan un papel muy importante en la mecánica cuántica. En álgebra lineal, estos operadores que mantienen el producto escalar se denominan operadores unitarios . Tienen la propiedad esencial de ser el reverso de su suplente:
Caso generalDado que mantiene el producto escalar, un operador unitario se transforma en un espacio físicamente indistinguible porque da exactamente las mismas probabilidades de medición. Por el contrario, es razonable suponer que un operador que transforma el espacio de estados en un espacio indistinguible es unitario.
La consideración del conjunto de todos los operadores unitarios en , así como de un subconjunto que puede parametrizarse continuamente mediante un escalar μ, permite entonces aproximar al primer orden en μ:
donde es un operador lineal arbitrario a priori que puede, sin perder en generalidad, escribirse en la forma .
Al anotar la relación de unitaridad de , viene, quedando en el primer orden:
Es decir que es autoasistente.
En resumen, cuando hay un parámetro que se transforma continuamente en un espacio físicamente indistinguible, entonces existe un operador unitario y una cantidad observable tal que se transforma en y:
Al equiparar a , y observando el vector de tal manera que , aparece como la tasa de aumento de una variación infinitesimal de μ en la vecindad de cero, por lo que se puede escribir:
donde la dependencia de en está implícita ( ).
Ecuación de SchrödingerLas consideraciones anteriores pueden servir para introducir la ecuación de Schrödinger desde un punto de vista teórico, gracias a un principio de simetría según el cual las leyes de la física son invariantes en el tiempo. Otra forma de decir esto es decir que un experimento realizado en un espacio de estados es indistinguible de un experimento idéntico realizado en un espacio de estados . Por lo tanto, podemos aplicar los resultados anteriores tomando t (o -t) para :
El factor se reintroduce aquí para satisfacer las restricciones dimensionales previamente ignoradas. La expresión detallada de lo observable , llamada hamiltoniana por analogía con la mecánica clásica , se obtiene con mayor frecuencia utilizando el principio de correspondencia .
Esta formulación de la ecuación de Schrödinger es bastante diferente de la formulación histórica y, como tal, a veces se la denomina ecuación de Schrödinger generalizada y dependiente del tiempo .
Impulso y momento angularEn cuanto a la ecuación de Schrödinger, pero esta vez aplicando el principio según el cual las leyes de la física son invariantes en el espacio, introducimos el observable del momento lineal (también llamado momento ) y sus tres componentes espaciales:
El caso del momento angular (a veces llamado de manera más explícita momento angular ) se trata de la misma manera, pero para las rotaciones en el espacio.
Dados dos operadores A y B, no necesariamente observables, definimos su conmutador de la siguiente manera:
Este operador juega un papel muy importante en la mecánica cuántica. Por ejemplo, cuando estamos interesados en la evolución de la expectativa matemática de un A observable para un estado :
Obtenemos, usando la ecuación de Schrödinger y con la notación :
expresión que constituye el teorema de Ehrenfest .
El conmutador es análogo al soporte de Poisson de la mecánica clásica. También participa en la explicación y descripción del principio de incertidumbre .
Propiedades:
En la práctica, el estado se escribe con mayor frecuencia en una base de estados de posición espacial perfectamente determinada:
Aquí la integración juega el papel de la suma utilizada anteriormente en particular en el enunciado del principio de superposición, con la diferencia de que se trata de una suma continua, es decir, de la suma de una infinidad de términos infinitamente pequeños.
La función se llama "función de onda" y es en ella donde se realizan la mayoría de los cálculos obtenidos a partir de la ecuación de Schrödinger.
La escritura de la ecuación de Schrödinger ya no es una función de la función de onda, sino que se realiza reemplazando cada término del hamiltoniano por las expresiones correspondientes según la función de onda. Por ejemplo, el impulso se escribe como se vio arriba donde T ( x ) es el operador unitario de traslación de longitud x en el espacio, es decir tal que:
.A partir de entonces, viene:
Al cambiar la variable debajo de la integral y recordar que la ecuación está escrita en la vecindad de x = 0, sigue:
En otras palabras, el operador de pulso actúa sobre el vector de estado dando un vector cuyas coordenadas en la representación espacial son las derivadas de la función de onda (excepto por un factor ignorado aquí). Esto permite realizar todos los cálculos únicamente sobre la función de onda y así reducir a la resolución de una ecuación diferencial parcial , es decir a la ecuación de Schrödinger en una forma más cercana a su forma histórica:
La regla de Born implica que el resultado de un experimento puede ser indeterminado incluso cuando el estado del sistema está perfectamente determinado. Esta indeterminación es intrínseca al sistema y, en un sentido, no tiene equivalente clásico. Sin embargo, el desconocimiento del estado exacto del sistema también puede justificar una descripción probabilística en el sentido clásico del término, es decir, con la aceptación habitual de las leyes de la probabilidad.
Por lo tanto, en una base de estado ortonormal , incluso si se desconoce el estado exacto, todavía es posible asignarle una distribución de probabilidad , donde es la probabilidad de que el sistema esté en el estado cuántico . La pregunta entonces es cómo contabilizar este tipo de probabilidad en los cálculos.
El estudio del sistema se reduce al de la medida de los observables disponibles, que a su vez se reduce a la medida de su valor medio que se escribe, para un observable y si el sistema se encuentra en el estado :
Dado que el sistema se encuentra en un estado desconocido, pero con la distribución de probabilidad , la expectativa matemática se convierte en:
Esta expresión es en cierto modo una doble expectativa matemática, teniendo en cuenta tanto las probabilidades cuánticas como las clásicas. Los términos son, de hecho, expectativas matemáticas, para distribuciones de probabilidad asociadas con el principio de superposición y la regla de Born. La expresión es por su parte una expectativa matemática asociada a una distribución de probabilidad que refleja el desconocimiento del estado real del sistema, es decir, una distribución de probabilidad clásica.
Entonces, la expectativa matemática se puede escribir:
La expresión es lo que se llama matriz de densidad asociada con la distribución de probabilidad en la base . es el rastro .
La matriz de densidad es, como los observables, solo una herramienta matemática que permite el cálculo de las expectativas matemáticas de los resultados de la medición, pero a diferencia de los observables, la matriz de densidad incorpora la toma en cuenta de un posible desconocimiento del estado exacto del sistema. .
En mecánica cuántica existen algunos problemas y temas de estudio que ahora están muy bien analizados y que son de gran utilidad para la comprensión de otros sistemas. Son parte integral del corpus teórico y se tratan en detalle en todos los libros de texto.
Los principios fundamentales expuestos anteriormente ya son suficientes para explicar una de las propiedades más importantes de la materia: la distinción entre bosones y fermiones .
De hecho, esta distinción se deriva esencialmente del carácter vectorial del espacio de estados y su interpretación probabilística. Si consideramos un sistema físico (o más simplemente una partícula) y observamos su estado, entonces un sistema físico compuesto por dos de estas partículas se escribirá utilizando el producto tensorial de los dos vectores.
La cuestión que surge entonces es la de saber cómo se comporta el sistema si, mediante el pensamiento, invertimos los roles que juegan las dos partículas. En otras palabras, nos preguntamos sobre la relación entre y . Siendo estos dos sistemas perfectamente análogos, cuando las partículas se consideran indistinguibles, deben comportarse de la misma manera. Por lo tanto, su distribución de probabilidad es la misma y, por lo tanto, están conectados por un escalar :
Ahora bien, si volvemos a invertir las partículas, necesariamente debemos volver a obtener el sistema inicial, de modo que:
Incluso entre números complejos, solo hay dos raíces cuadradas de unidad: 1 y -1. Esto implica que solo puede haber dos tipos muy distintos de partículas, aquellas para las cuales , los bosones , y aquellas para las cuales , los fermiones (estos nombres se refieren a los físicos que descubrieron las estadísticas asociadas: Satyendranath Bose y Enrico Fermi ).
De esto se sigue directamente el principio de exclusión de Pauli , que solo obedecen los fermiones. Considere, por ejemplo, un fermión e imagine dos partículas de esta especie en exactamente el mismo estado .
Tenemos: y por lo tanto:
En otras palabras, la probabilidad de que dos fermiones estén en el mismo estado es siempre cero. Esta propiedad tiene una importancia considerable en la naturaleza. Le debemos tanto la impenetrabilidad del cuerpo (en) .
Por el contrario, los bosones tienden a agruparse entre sí, porque sus amplitudes de probabilidades interfieren de manera constructiva cuando se encuentran en el mismo estado. Ésta es la causa de muchos fenómenos, como la emisión estimulada , que son la base del funcionamiento de los láseres .
Consideraciones comparables a los cálculos anteriores permiten comprender que un número par de fermiones se comportan como bosones. Esta es la causa de fenómenos como la superconductividad , donde los electrones forman pares de Cooper . Esto es también lo que explica las diferencias de comportamiento entre los diferentes isótopos de helio : en un átomo de helio 4 ( 4 He), cada partícula está presente por duplicado (dos electrones, dos protones y dos neutrones, formando pares de Cooper), lo que hace este átomo es un bosón. Este no es el caso del átomo de helio 3 ( 3 He), que tiene un solo neutrón, lo que hace de este átomo un fermión; que puede combinarse con otro átomo de helio 3 para formar un par bosón de Cooper.
El carácter bosónico o fermiónico de las partículas está vinculado a su espín , mediante lo que se denomina teorema estadístico de espín .
Entre los sistemas que pueden resolverse analíticamente en mecánica cuántica, uno de ellos tiene especial importancia tanto histórica como teóricamente. Este es el oscilador armónico .
En la mecánica clásica, el oscilador armónico es un sistema de gran importancia porque constituye una buena aproximación de cualquier sistema estable alrededor de una posición de equilibrio. En un sistema de unidades adecuado, la ecuación de energía se escribe:
Donde y son respectivamente el impulso y la posición del móvil.
En mecánica cuántica, la ecuación es formalmente la misma, pero las cantidades involucradas son de diferente naturaleza. En lugar de ser escalares dependientes del tiempo real, el momento y la posición son operadores lineales en el espacio vectorial de estados. Estas cantidades se pueden manipular algebraicamente como con los escalares normales, excepto que es un álgebra no conmutativa. Por tanto, debe prestarse atención a los cambios entre los operadores interesados. En este caso, el cambio entre y es:
La resolución del sistema pasa luego por una factorización inspirada en la notable identidad . Al recordar eso , se introducen dos operadores (con un factor de normalización cercano):
Por razones que aparecen durante el cálculo (ver artículo detallado ), estos operadores se denominan respectivamente operadores de creación y aniquilación de cuantos, u operadores de escala . Entonces, un razonamiento por recurrencia permite mostrar el carácter cuantificado de los posibles niveles de energía y calcular sus valores. Estos cuantos son el análogo mecánico de los fotones y, como tales, a veces se denominan fonones .
Esta introducción de operadores de creación y aniquilación es una técnica bastante emblemática de la física cuántica. Se encuentra, por ejemplo, en la teoría del momento angular cuántico o en la teoría cuántica de campos .
Uno de los sistemas más simples de la mecánica cuántica es la partícula libre, cuya energía se reduce a su componente cinético . Luego se escribe la ecuación de Schrödinger:
Las soluciones son de la forma:
El efecto túnel designa la propiedad que tiene un objeto cuántico de cruzar una barrera potencial incluso si su energía es menor que la energía mínima requerida para cruzar esta barrera. Es un efecto puramente cuántico, que no puede ser explicado por la mecánica clásica. Para tal partícula, la función de onda, de la cual el cuadrado del módulo representa la densidad de probabilidad de presencia, no se cancela al nivel de la barrera, sino que se atenúa dentro de la barrera, prácticamente exponencialmente para una barrera bastante amplia. Si, a la salida de la barrera de potencial, la partícula tiene una probabilidad de presencia distinta de cero, puede cruzar esta barrera. Esta probabilidad depende de los estados accesibles a ambos lados de la barrera, así como de la extensión espacial de la barrera.
Históricamente, el espín del electrón es ante todo un fenómeno experimental observado en particular durante el experimento de Stern y Gerlach . En esencia, aparece como una especie de momento magnético muy débil que admite solo dos valores posibles, que son opuestos y que no varían continuamente a lo largo del eje de medición. Es, por tanto, una cantidad que no respeta, al menos en apariencia, las leyes espaciales de la trigonometría , aunque sea direccional. Estas observaciones bastante curiosas solo podrían explicarse mediante la mecánica cuántica.
El espín del electrón es por tanto una magnitud a priori direccional que sólo puede tomar dos valores de igual magnitud y de dirección opuesta. Los estados cuánticos correspondientes generalmente se denotan y . Estos estados dependen de un eje de observación particular, tradicionalmente colocado verticalmente, es decir, a lo largo del eje .
Con una elección adecuada de unidades, esto significa que para un electrón en el estado , la medición del momento magnético de giro de acuerdo con dará +1 como resultado de la medición con seguridad. De la misma manera, un electrón en el estado necesariamente dará -1 como resultado de la medición a lo largo de este mismo eje.
Por lo tanto, y forman la base de un espacio vectorial bidimensional, y luego se escribe el observable asociado con la medición del giro a lo largo del eje , en representación matricial:
(el índice 3 se elige aquí porque el eje es tradicionalmente el tercer eje del trihedro espacial)
Mediante la aplicación del principio de superposición, cualquier superposición lineal de y también es un estado posible para el electrón. Entre estas combinaciones lineales, hay algunas que son los vectores propios de dos matrices y :
, y formar con la matriz unitaria lo que se denominan matrices de Pauli .
La consideración de un vector unitario y de lo observable: permite entonces mostrar el siguiente valor promedio de para el estado :
donde está el ángulo alejado del eje .
Es decir, en cuanto y se asocian con los observables vinculados a la medida del espín a lo largo de los ejes y , entonces aparecen las reglas de la trigonometría, pero con un significado probabilístico. Este es un resultado típico de la mecánica cuántica.
El espín del electrón juega un papel muy importante en la mecánica cuántica, por un lado porque es un fenómeno que no tiene equivalente clásico, y por otro lado porque es uno de los sistemas cuánticos más simples en la medida en que solo tiene dos estados. (o más precisamente, su espacio vectorial es de dimensión dos). Como tal, a menudo se utiliza como modelo de estudio para sistemas más complejos, incluso cuando el fenómeno físico subyacente es completamente diferente. El ejemplo emblemático es el modelo Ising .
Richard Feynman , en su tesis de 1942, introdujo la noción de integral de trayectoria para presentar una nueva formulación de la mecánica cuántica. Estos resultados no se publicarán hasta 1948 debido a la Segunda Guerra Mundial. En última instancia, el objetivo de este enfoque sería formular una teoría de la electrodinámica cuántica mediante el desarrollo de la cuantificación integral de trayectoria. Si hoy en día nos reservamos el formalismo hamiltoniano de la mecánica cuántica para hacer frente a los problemas clásicos (en el sentido de no relativista), resulta que la formulación de Feynman es en gran parte predominante para tratar los problemas relativistas, particularmente en la teoría cuántica de campos , l ventaja derivada de la hecho de que este enfoque no es perturbador.
Además, en 1953, Feynman aplicó su enfoque para formular la mecánica estadística cuántica (en) por ruta integral ( integral de Wiener , fórmula de Feynman-Kac (en) ) y trató de explicar la transición lambda en helio superfluido.
La mecánica cuántica es una teoría "no relativista": no incorpora los principios de la relatividad especial . Aplicando las reglas de cuantificación canónica a la relación de dispersión relativista, obtenemos la ecuación de Klein-Gordon (1926). Sin embargo, las soluciones de esta ecuación presentan serias dificultades de interpretación en el marco de una teoría que se supone describe "una sola partícula": no se puede, en particular, construir una "densidad de probabilidad de presencia" en todas partes positivas, porque la ecuación contiene una segunda derivada temporal . Dirac buscará entonces otra ecuación relativista de "primer orden en el tiempo", y obtendrá la ecuación de Dirac , que describe muy bien los fermiones de espín medio como el electrón.
La teoría cuántica de campos para interpretar sin dificultad todas las ecuaciones cuánticas relativistas.
La ecuación de Dirac incorpora de forma natural la invariancia de Lorentz con la mecánica cuántica, así como la interacción con el campo electromagnético pero que todavía se trata de forma clásica (hablamos de aproximación semiclásica ). Constituye la mecánica cuántica relativista . Pero precisamente debido a esta interacción entre las partículas y el campo, es necesario entonces, para obtener una descripción coherente del conjunto, aplicar el procedimiento de cuantificación también al campo electromagnético. El resultado de este procedimiento es la electrodinámica cuántica en la que la unidad entre campo y partícula es aún más transparente, ya que ahora la materia también está descrita por un campo. La electrodinámica cuántica es un ejemplo particular de teoría cuántica de campos .
Otras teorías cuánticas de campos se desarrollaron posteriormente a medida que se descubrieron las otras interacciones fundamentales ( teoría electrodébil , luego cromodinámica cuántica ).
Las relaciones de incertidumbre de Heisenberg reflejan la imposibilidad de preparar un estado cuántico correspondiente a valores precisos de ciertos pares de cantidades conjugadas. Esto está relacionado con el hecho de que los operadores cuánticos asociados con estas cantidades clásicas " no conmutan ".
Las desigualdades de Heisenberg se designan con mucha frecuencia con la expresión "principio de incertidumbre". Estrictamente hablando , este nombre es engañoso: estas desigualdades no son un principio porque están perfectamente demostradas gracias al análisis de Fourier , y no se refieren a incertidumbres en el sentido común del término sino a una indeterminación intrínseca, propia de la naturaleza aleatoria. de la mecánica cuántica.
Considere, por ejemplo, la posición y el momento de una partícula. Usando las reglas de la cuantificación canónica, es fácil verificar que los operadores de posición y momento satisfacen:
La relación de incertidumbre se define a partir de las desviaciones cuadráticas medias de las cantidades combinadas. En el caso de la posición y el momento de una partícula, se escribe por ejemplo:
Cuanto más estrecha el estado tiene una distribución de la posición, más amplia es su distribución de los valores del impulso asociado con él. Esta propiedad recuerda el caso de las ondas, a través de un resultado de la transformada de Fourier , y aquí expresa la dualidad onda-partícula. Es evidente que esto lleva a cuestionar la noción clásica de trayectoria como un camino continuo diferenciable.
También existe una relación de incertidumbre relacionada con la energía de una partícula y la variable de tiempo. Por lo tanto, la duración requerida para detectar una partícula de energía de cerca verifica la relación:
Sin embargo, la derivación de esta desigualdad de energía-tiempo es bastante diferente de la de las desigualdades de posición-momento.
De hecho, si el hamiltoniano es de hecho el generador de traslaciones en el tiempo en la mecánica hamiltoniana , lo que indica que el tiempo y la energía están conjugados, no existe un operador de tiempo en la mecánica cuántica (el “teorema” de Pauli), es decir, no podemos construir un operador que obedece a una relación de conmutación canónica con el operador hamiltoniano :
esto por una razón muy fundamental: la mecánica cuántica fue realmente inventada para que cada sistema físico estable posea un "estado fundamental de energía mínima". El argumento de Pauli es el siguiente: si el operador de tiempo existiera, tendría un espectro continuo. Sin embargo, el operador del tiempo, obedeciendo a la relación de conmutación canónica, también sería el generador de “traslaciones energéticas”. Esto implica entonces que el operador hamiltoniano también tendría un “espectro continuo”, en contradicción con el hecho de que la energía de cualquier sistema físico estable debe estar acotada por debajo .
La noción de entrelazamiento cuántico entra en juego cuando dos sistemas y se consideran como un todo forman un solo sistema . Esta afirmación puede verificarse, por ejemplo, en el caso simple en el que los espacios de estado de y tienen como base los vectores propios y de dos observables y que actúan respectivamente sobre y .
y necesariamente también actuar ya que está constituido por la unión de y . Por lo tanto, podemos observar el vector de estado de tal que en este estado la medida de da sin falta y la medida de da sin falta .
Según el principio de superposición, todas las combinaciones lineales de vectores de estado son estados posibles del sistema. Sin embargo, existen tales vectores y, por lo tanto, el espacio vectorial que generan es al menos de dimensión . En el caso general, esta dimensión es mayor que , es decir, el número de grados de libertad necesarios para describir los sistemas y considerados por separado.
Por tanto, parece que, en el caso general, la descripción completa de los dos sistemas en su conjunto no puede reducirse a la de los dos sistemas tomados por separado. En otras palabras, hay estados de tal que no hay estado de ni estado de , es decir, no hay combinación lineal ni combinación lineal de los que permita obtener las probabilidades de los resultados de la medición. Entonces se dice que tales estados de están entrelazados . Un ejemplo de un estado entrelazado es:
Dos sistemas o dos partículas pueden enredarse tan pronto como haya una interacción entre ellos. Como resultado, los estados entrelazados son la regla más que la excepción. Una medición realizada en una de las partículas cambiará su estado cuántico de acuerdo con el postulado cuántico de la medición. Debido al entrelazamiento, esta medida tendrá un efecto instantáneo en el estado de la otra partícula, incluso si la línea del universo que conecta los dos eventos " mide 1 " y " mide 2 " del espacio-tiempo es una curva similar al espacio . En consecuencia, el hecho de que la mecánica cuántica tolera la existencia de estados entrelazados, estados que realmente han sido observados en el laboratorio y cuyo comportamiento está de acuerdo con el predicho por la mecánica cuántica (ver el experimento de Aspect ), implica que la mecánica cuántica es un no- teoría física local . La conjetura ER = EPR interpreta esta no-localidad como una propiedad fundamental del espacio-tiempo, que en esencia estaría generada por el fenómeno del entrelazamiento cuántico.
Sin embargo, es incorrecto equiparar el entrelazamiento cuántico con la transmisión de información más rápida que la velocidad de la luz (y por lo tanto una violación de la teoría de la relatividad). La razón es que el resultado de la medición relativa a la primera partícula es siempre aleatorio, en el caso de estados entrelazados como en el caso de estados no entrelazados. Por tanto, es imposible "transmitir" información alguna, ya que la modificación del estado de la otra partícula, por inmediata que sea, conduce a un resultado de la medición relativa a la segunda partícula que siempre es también aleatoria que la relativa a la primera partícula. Las correlaciones entre las mediciones de las dos partículas, aunque muy reales y demostradas en muchos laboratorios alrededor del mundo, permanecerán indetectables mientras no se comparen los resultados de las mediciones, lo que necesariamente implica un clásico intercambio de información, respetuoso de la Relatividad ( ver también la paradoja de EPR ).
La teletransportación cuántica hace uso del entrelazamiento para transferir el estado cuántico de un sistema físico a otro sistema físico. Este proceso es la única forma conocida de transferir perfectamente información cuántica. No puede exceder la velocidad de la luz y también está "incorpórea" en el sentido de que no hay transferencia de materia (a diferencia de la teletransportación ficticia en Star Trek).
Este estado no debe confundirse con el estado de "superposición". El mismo objeto cuántico puede tener dos (o más) estados "superpuestos". Por ejemplo, el mismo fotón puede estar en el estado de "polaridad longitudinal" y "polaridad transversal" simultáneamente. El gato de Schrödinger se encuentra simultáneamente en el estado "muerto" y "vivo". Un fotón que pasa por una placa semirreflectante se encuentra en el estado superpuesto "fotón transmitido" y "fotón reflejado". Solo durante el acto de medición el objeto cuántico tendrá un estado determinado.
En el formalismo de la física cuántica, un estado de entrelazamiento de "varios objetos cuánticos" se representa mediante un producto tensorial de los vectores de estado de cada objeto cuántico. Un estado de superposición concierne sólo a "un solo objeto cuántico" (que puede ser un entrelazamiento), y está representado por una combinación lineal de las diversas posibilidades de estados de éste.
Solo podemos determinar el estado de un sistema cuántico observándolo, lo que tiene el efecto de destruir el estado en cuestión. Por otro lado, una vez que se conoce, en principio puede recrearse en otro lugar. En otras palabras, la "duplicación" no es posible en el mundo cuántico, solo es posible la "reconstrucción en otro lugar", cerca del concepto de teletransportación en la ciencia ficción .
Desarrollado teóricamente en 1993 por CH Bennett, G. Brassard, C. Crépeau, R. Jozsa, A. Peres y W. Wootters en el artículo Teletransportar un estado cuántico desconocido por canales clásicos duales y EPR , de la Physical Review Letter , este La reconstrucción se llevó a cabo de forma experimental en 1997, en fotones, por el equipo de Anton Zeilinger en Innsbruck, y más recientemente en átomos de hidrógeno .
Numerosos experimentos han demostrado que los fenómenos descritos por la mecánica cuántica, como el espín o el entrelazamiento cuántico , son muy reales. Entre los más famosos, podemos mencionar notablemente:
Estas "paradojas" nos cuestionan sobre la interpretación de la mecánica cuántica, y en ciertos casos revelan hasta qué punto nuestra intuición puede ser engañosa en este campo que no se relaciona directamente con la experiencia diaria de nuestros sentidos.
Esta paradoja (1935) pone de relieve los problemas de interpretación del postulado de reducción del paquete de ondas .
Esta paradoja (1935) destaca la no localidad de la física cuántica, implicada por estados entrelazados .
Este experimento puede interpretarse como una demostración de que los resultados de un experimento registrado en un momento T dependen objetivamente de una acción realizada en un momento posterior T + t. Según esta interpretación, la no localidad de los estados entrelazados no es solo espacial, sino también temporal.
Sin embargo, la causalidad no se viola estrictamente porque no es posible, por razones fundamentales, demostrar, antes del tiempo T + t, que el estado registrado en el momento T depende de un evento posterior. Por tanto, este fenómeno no puede dar ninguna información sobre el futuro.
Según la mecánica cuántica, eventos que "podrían haber ocurrido, pero que no" afectaron los resultados del experimento.
Si bien los principios de la mecánica cuántica se aplican a priori a todos los objetos contenidos en el universo (incluyéndonos a nosotros), ¿por qué continuamos percibiendo clásicamente lo esencial del mundo macroscópico ? En particular, ¿por qué las superposiciones cuánticas no son observables en el mundo macroscópico? La teoría de la decoherencia explica sus muy rápidas desapariciones debido al inevitable acoplamiento entre el sistema cuántico considerado y su entorno.
Esta teoría ha recibido confirmación experimental con estudios sobre sistemas mesoscópicos para los que el tiempo de decoherencia no es demasiado corto para seguir siendo medible, por ejemplo, un sistema de unos pocos fotones en una cavidad.
Las aplicaciones de la mecánica cuántica incluyen semiconductores , transistores , láser , microscopio electrónico y resonancia magnética nuclear . Una categoría especial de aplicaciones está dedicada a los fenómenos cuánticos macroscópicos como la superfluidez o la superconductividad del helio . El estudio de los semiconductores condujo a la invención del diodo , el transistor y el circuito integrado , elementos esenciales de la electrónica moderna.
Accesible a nivel de pregrado.
Accesible desde el segundo ciclo de la universidad.
Accesible sin equipaje físico previo.
Hay muchas interpretaciones de la mecánica cuántica , algunas en desacuerdo con otras. En ausencia de consecuencias observables de estas interpretaciones, no es posible decidir a favor de una u otra de estas interpretaciones. La única excepción es la escuela de Copenhague, cuyo principio es precisamente rechazar cualquier interpretación de los fenómenos.
Diagrama de las principales interpretacionesÁrbol de solución del problema de medición | |||||||||||||||||
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Teoría cuántica | |||||||||||||||||
No está destinado a representar la realidad | No representa completamente la realidad | Representa totalmente la realidad | |||||||||||||||
Positivismo | Leyes cuánticas modificadas | Influencia de la conciencia | Adición de una variable adicional: la posición | Decoherencia cuántica | Múltiples universos | ||||||||||||
Stephen Hawking Niels Bohr |
Roger Penrose | Eugene Wigner | Teoría de De Broglie-Bohm |
Roland Omnès Murray Gell-Mann James Hartle |
Hugh Everett David Deutsch |
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Giancarlo Ghirardi Alberto Rimini Wilhelm Eduard Weber |
John von Neumann Fritz London y Edmond Bauer |
Campana de john |
Hans-Dieter Zeh Wojciech Zurek |
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Bernard d'Espagnat Olivier Costa de Beauregard |