Nacimiento |
28 de abril de 1906 Brünn ( Austria-Hungría ) |
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Muerte |
14 de enero de 1978 Princeton ( Estados Unidos ) |
Nacionalidad |
Austriaco americano |
Áreas | lógica matemática , matemáticas |
Instituciones | Instituto de estudios avanzados (Princeton) |
Diplomado | Universidad de Viena |
Reconocido por |
Teorema de completitud de Gödel Teoremas de incompletitud de Gödel Hipótesis del continuo Prueba ontológica de Gödel |
Premios |
Premio Albert Einstein (1951) Medalla Nacional de Ciencias (1974) |
Firma
Kurt Gödel , nacido el28 de abril de 1906a Brünn y murió el14 de enero de 1978en Princeton (Nueva Jersey) , es un lógico y matemático austriaco naturalizado estadounidense .
Su resultado más conocido, el teorema de incompletitud de Gödel , afirma que cualquier sistema lógico lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de números enteros admite proposiciones sobre números enteros que no se pueden invalidar o confirmar a partir de los axiomas de la teoría . Estas propuestas se califican de indecidibles .
Gödel también demostró la integridad del cálculo de predicados de primer orden . También demostró la relativa consistencia de la hipótesis del continuo , mostrando que no se puede refutar a partir de los axiomas aceptados de la teoría de conjuntos , asumiendo que estos axiomas son consistentes. También está en el origen de la teoría de funciones recursivas .
Publicó sus resultados más importantes en 1931 a la edad de 25 años, mientras aún trabajaba para la Universidad de Viena (Austria). Habiéndose convertido en docente privado en esta institución, fue expulsado de ella después del Anschluss ; que luego emigró con su esposa a la de Estados Unidos . Habiendo padecido trastornos mentales durante varios años, sin embargo logró naturalizarse gracias al apoyo de sus amigos Oskar Morgenstern y Albert Einstein , y se unió definitivamente a la Universidad de Princeton después de la guerra. Sin embargo, sus problemas se convirtieron en un frenesí de persecución a mediados de la década de 1970 y aceleraron su final.
Kurt Gödel es el hijo menor de Rudolf Gödel, director y copropietario de una gran empresa textil en Brno , actual República Checa , y Marianne Handschuh. Rudolf Gödel tiene dos hijos: el mayor, también llamado Rudolf, y Kurt. Ni uno ni otro siguen sus pasos en el camino de la industria o el comercio. Rudolf Jr. se convierte en un médico de renombre en Viena, donde dirigirá una clínica de renombre.
Dentro de esta familia de habla alemana , el pequeño Kurt hace preguntas con tanta insistencia en todo lo que ve que lo apodan Der Herr Warum ( Mister Why ). A los seis años sufrió un ataque de fiebre reumática, que lo dejó en cama durante varios días, pero del que se recuperó por completo, al menos físicamente. A la edad de doce años, durante el desmembramiento de Austria-Hungría el28 de octubre de 1918, se convierte en checoslovaco de facto . En Brno, fue un alumno brillante en la escuela primaria, luego la secundaria, que terminó con honores en 1923. Fue a los quince años cuando tomó la firme decisión de dedicarse a la física .
Aunque Gödel se destacó por primera vez en idiomas (en su juventud hablaba y escribía perfectamente el francés y el inglés), a los dieciocho años se unió a su hermano en la Universidad de Viena para comenzar allí los estudios de física, que abandonó con bastante rapidez. En ese momento, Philipp Furtwängler , un matemático alemán especializado en aritmética superior, enseñó en Viena, sus cursos son famosos por su excelencia y claridad. El joven Gödel quedó tan marcado por las lecciones de Furtwängler que abandonó sus estudios de física para dedicarse a las matemáticas. Sabemos muy poco sobre la vida privada de Gödel durante sus estudios en Viena. Iba a casarse con una mujer diez años mayor que él, pero sus padres se oponen y Kurt renuncia al matrimonio. Al parecer, pasó la mayor parte de su tiempo estudiando. Sin embargo, fue en la Universidad de Viena donde conoció a la que más tarde se convertiría en su esposa, Adele Porkert.
Fue en este momento cuando se adhirió al realismo matemático. Lee Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft ( Primeros principios metafísicos de la ciencia de la naturaleza ) de Kant . En 1926 fue invitado por Moritz Schlick , su antiguo profesor de filosofía de la ciencia en la universidad, a asistir a las reuniones semanales del Círculo de Viena del que eran miembros Hans Hahn (futuro director de tesis de Gödel), Rudolf Carnap , Ludwig Wittgenstein . . Durante estos encuentros se debatieron temas de matemáticas y en particular las soluciones propuestas por Russell , Brouwer y Hilbert al problema de la crisis de los cimientos . Sin duda, es en este contexto que Gödel adquirió por primera vez su profundo conocimiento del programa formalista . Asistió asiduamente a las reuniones hasta 1928, solo como auditor. Tras participar en el Círculo de Viena, Gödel decidió, en 1928, dedicarse definitivamente a la lógica matemática (interés que desarrolló a raíz de un seminario de Schlick). Asiste a una conferencia de David Hilbert en Bolonia sobre la integridad y coherencia de los sistemas matemáticos.
Durante el año 1929 completó su tesis doctoral sobre un problema relacionado con el programa de Hilbert y la presentó, la6 de febrero de 1930, en la Universidad de Viena. Lo presentó en forma de artículo el mismo año. Este trabajo, que constituye su primera publicación científica, aparece en el número 37 (1930) de la revista Monatshefte für Mathematik und Physik bajo el título "La completitud de los axiomas del cálculo lógico de primer orden". También en 1929, Gödel se convirtió en ciudadano austríaco. Luego, en 1932, se graduó en la Universidad de Viena.
La publicación de su primer teorema de incompletitud en 1931 convirtió a Gödel en una celebridad internacional en el mundo de las matemáticas. Su nombre empezó a ser mencionado en todos los foros y conferencias, y su demostración se convirtió - y sigue siendo hoy - un clásico del razonamiento matemático . No pudo aprovechar de inmediato su merecida fama porque, una vez terminado su artículo, experimentó durante varios meses graves trastornos nerviosos , consecuencia innegable del estrés que le generó la presentación de su teorema .
En cuanto al segundo teorema de incompletitud, el artículo de 1931 solo proporciona un esquema general del curso de su demostración, y Gödel propone demostrarlo en una segunda parte del artículo. Sin embargo, sus trastornos nerviosos le impiden escribirlo en los meses siguientes y, cuando finalmente se entrega, se da cuenta de que las demostraciones de sus dos teoremas -incluida la del segundo simplemente mencionado- están tan bien aceptadas que cualquier aclaración adicional sería conveniente. innecesario.
Tras superar sus trastornos nerviosos, en 1933 se convirtió en Privatdozent (profesor) en la Universidad de Viena.
El mismo año fue invitado a dar una conferencia en la reunión anual de la American Mathematical Society . Durante este primer viaje conoció a Albert Einstein, quien había emigrado a los Estados Unidos en 1932. Entre ellos nació una amistad que se prolongó hasta la muerte de Einstein en 1955. Durante los dos años siguientes, 1934 y 1935, viaja nuevamente a la Estados Unidos, donde es invitado dos veces por el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton . Allí dio varias conferencias y conferencias sobre sus dos teoremas de incompletitud, así como sobre otros temas, que había abordado durante investigaciones posteriores, incluidas la computabilidad y las funciones recursivas ; en particular, da una conferencia sobre funciones recursivas generales y sobre el concepto de verdad. Durante sus viajes por Estados Unidos, Gödel expone sus métodos, sus ideas, los problemas que piensa y esto estimula la escuela estadounidense de lógica matemática así como la lógica matemática en general.
sin embargo, el 22 de junio de 1936, se produce el asesinato, a cargo de Johann Nelböck, un joven estudiante con trastornos mentales , de Moritz Schlick ; este crimen afecta especialmente a Gödel, que atraviesa su primera depresión . Regresó a Princeton el mismo año. Los viajes y sus labores lo agotaron, tanto que pasó la mayor parte del año siguiente tratando una nueva depresión. Regresó a la docencia en 1937, período durante el cual trabajó para demostrar la relativa coherencia e independencia de la hipótesis del continuo . Lucha por demostrar independencia (lo que no se logrará hasta 1963, por Paul Cohen ), pero logra establecer que la hipótesis del continuo no puede refutarse a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos .
Después del Anschluss de 1938, Austria cayó bajo el control de la Alemania nazi . Este último habiendo abolido el título de Privatdozent , Gödel pierde su trabajo. Esto no le impidió casarse en la Universidad de Viena , la20 de septiembre de 1938, con Adele Porkert, una bailarina divorciada seis años mayor que él, a quien había conocido en 1927. Sus conexiones con profesores judíos, como su tutor de tesis Hans Hahn , le causaron problemas. En 1938 y 1939 volvió a acudir al Instituto de Estudios Avanzados y, durante estos viajes, además de impartir cursos y conferencias, hizo contactos institucionales con miras a prepararse para su futura admisión como docente, en caso de que haya salir de Austria. De vuelta en Viena, después de su segundo viaje, fue atacado por un grupo de estudiantes de extrema derecha. Su presencia como intelectual independiente fue una vergüenza para los nazis, enOctubre de 1939, está registrado en una "lista negra". Este registro formaliza su condición de desempleado y, bajo el régimen nazi, los desempleados son reclutados casi sistemáticamente por el ejército. Efectivamente, poco después recibió su orden de incorporación. En lugar de unirse a su regimiento, Kurt Gödel huyó de Austria, junto con Adele Porkert, enEnero de 1940y viaja a Estados Unidos por una de las rutas más largas que existen, es decir, a través de Rusia , Siberia , Japón y el Océano Pacífico . Llegan a San Francisco el4 de marzoa continuación, después de haber tomado el Transiberiano y cruzar de incógnito el Océano Pacífico, por temor a ser arrestados.
Gracias a sus contactos, Gödel obtuvo inmediatamente un puesto como profesor invitado en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. En 1946 se integró allí definitivamente y, a finales de 1947, tuvo que someterse a un examen para su naturalización , con sus amigos Oskar Morgenstern y Albert Einstein como testigos . Para una persona con sus credenciales, esto es una formalidad, pero Gödel se prepara con extremo rigor, y mientras estudia la constitución estadounidense , cree haber descubierto una falla lógica que permitiría transformar legalmente el régimen político del país bajo un régimen dictatorial . Comparte su descubrimiento con sus dos amigos, que están muy preocupados de que Gödel discuta el tema con el juez responsable de la entrevista previa a la naturalización. Ambos están convencidos de haber logrado disuadir a Gödel, pero en unas pocas frases el tema vuelve: el juez indaga primero sobre el régimen político vigente en Austria, Gödel responde que éste, antes democracia, se transforma en dictadura; el juez responde que tal cosa no podría suceder en Estados Unidos, pero Gödel argumenta lo contrario y dice que puede probarlo. El juez, que conoce a Einstein, decide dar por terminada la entrevista sin su explicación, que nunca se revelará.
Sus trastornos mentales empeoraron y, a mediados de la década de 1970, se convirtieron en un delirio de persecución. Se preocupa cada vez más por su salud, está convencido de la existencia de un complot para envenenarlo . También se niega a comer a menos que Adele pruebe la comida primero. A finales de 1977, Adèle tuvo que ser hospitalizada durante seis meses por diversos problemas de salud y Gödel, que se quedó solo con sus miedos y obsesiones, prácticamente dejó de comer, cayendo paulatinamente en caquexia . Iba a ser internado en el Hospital de Princeton, donde murió el14 de enero de 1978 ; luego pesó 65 libras (29,5 kg) .
Un niño tímido e introvertido, siempre se mantiene muy apegado a su madre -dotada de una gran sensibilidad artística- y se siente algo perdido cuando ella no está en casa. Su carácter tímido e introvertido lo seguirá a lo largo de su vida. No es una broma, no hace reír a nadie con sus bromas, pero tampoco las necesita. El ataque de fiebre reumática que lo afectó a los seis años es, según su hermano médico, responsable de su profunda hipocondría , una de las principales características de su personalidad. Como adulto, Gödel es fuertemente pesimista sobre el destino de la humanidad, una actitud común durante los primeros años de la era nuclear.
A partir de 1950, Gödel publicó poco, pero nunca dejó de pensar y escribir, y dejó a su muerte un impresionante número de manuscritos inéditos dedicados principalmente a la filosofía y la teología , con investigaciones, entre otras, sobre la existencia de Dios, la transmigración de las almas o el análisis de las obras filosóficas de Leibniz . Entre estos escritos inéditos se encuentra el texto de la " conferencia de Gibbs " que Gödel fue invitado a dictar en la reunión anual de la American Mathematical Society , celebrada el26 de diciembre de 1951en Providence , Estados Unidos. Durante los años siguientes se dedicó a mejorar su manuscrito con el objetivo de publicarlo, pero nunca logró darle una forma que le pareciera aceptable. Finalmente, se publicó en 1994 en un volumen titulado Kurt Gödel: ensayos inéditos . Concretamente, sostiene, durante esta conferencia, que sus teoremas demuestran que el platonismo matemático constituye la posición correcta en la filosofía de las matemáticas.
Gödel, de 70 años, profundamente místico, hace circular entre sus amigos un documento que propone una prueba ontológica de la existencia de Dios, inspirado en el argumento de Anselmo de Canterbury y las obras de Leibniz y conocido hoy con el nombre de " ontológico ". prueba de Gödel ". También le interesaron mucho las visiones de grandes místicos como Santa Catalina Emmerich o Gregory Palamas .
Gödel, además de su fe en Dios, cuestiona la existencia de los ángeles y el diablo. Laurent Lemire escribe: "Kurt Gödel, (...) autor del teorema de la incompletitud, cree en los ángeles y el diablo en un universo matemático, un universo" ideal ", en contraposición al universo real perceptible, en el que los" Ángeles " y "demonios" como vivimos en el universo real. Convencido de que queremos envenenarlo, muere de hambre voluntariamente ” . Esto se deriva de sus reflexiones sobre la intuición y la incompletitud , de hecho, dado que la intuición en ocasiones ha producido tesis matemáticas que no pudieron demostrarse ni invalidarse matemáticamente, considera que o el cerebro es una máquina de Turing , y por lo tanto hay problemas indecidibles para el ser humano, lo que significa que "las propiedades matemáticas que se nos escapan tienen una existencia autónoma", es decir que el cerebro supera a las máquinas de Turing, y por tanto la mente humana es "una realidad independiente del mundo sensible". La dificultad de este enfoque es la comunicación del cerebro, material y finito, con este universo ideal : prevé la existencia de un “órgano de intuición” que tenga acceso a este universo ideal, a pesar de las dificultades de esta especulación.
Una consecuencia de su visión de un mundo real limitado querido por Dios , es que la investigación , la metafísica o la filosofía , están en contradicción con esta voluntad de limitar la comprensión del mundo. Este punto alimenta sus miedos, e incluso llega a estimar a los grandes pensadores en peligro. Gödel prefiere ser discreto sobre esta concepción del mundo, que sólo se describe en sus notas personales: "Solo hago públicas aquellas partes de mi filosofía que son menos polémicas" .
Demuestra en su tesis, presentada en 6 de febrero de 1930la integridad de la lógica clásica de primer orden , es decir, cualquier fórmula válida es demostrable, un resultado que fue publicado por la Academia de Ciencias de Viena . El teorema demostrado, conocido hoy como Teorema de completitud de Gödel , se interpreta en ese momento como una pista de que el programa de Hilbert es factible.
Una vez que se ha establecido la base lógica para realizar pruebas verificables con la ayuda de un algoritmo , todo lo que queda es descubrir los axiomas para probar todas las verdades aritméticas.
Desafortunadamente para el programa de Hilbert, este objetivo es inalcanzable. El teorema que establece esta imposibilidad se conoce como el primer teorema de incompletitud , expuesto abiertamente por primera vez en el congreso de Königsberg en7 de septiembre de 1930. El artículo que contiene el desarrollo de la demostración se envía a la revista Monatshefte für Mathematik und Physik en noviembre y aparece en la edición N o 38 de 1931. Demuestra que para cualquier sistema axiomático lo suficientemente poderoso como para describir los números naturales, podemos decir que :
El artículo no contiene una demostración detallada de este segundo teorema, pero lo describe.
El principio del teorema de incompletitud es simple. Gödel esencialmente construyó "una fórmula que establece que no es demostrable" en un sistema formal dado. Si esta fórmula fuera demostrable, eso significaría que podríamos demostrar “que no es demostrable”, de ahí la contradicción. Entonces esta fórmula no es demostrable. Esto es lo que dice, por lo tanto es válido. Por tanto, existe una fórmula válida que no se puede demostrar.
Para aclarar estos hechos, Gödel necesitaba resolver muchos problemas técnicos, como la "codificación de pruebas" y "el concepto mismo de demostrabilidad" dentro de los números enteros. También necesitaba un proceso para describir una fórmula que establece su propio no demostrable: el proceso "diagonal". Estos detalles formales explican por qué su publicación de 1931 fue tan larga y ardua de leer, y por qué sus contemporáneos, con la notable excepción de John von Neumann y Alfred Tarski , no entendieron su resultado.
En Princeton, se dedicó aún más a la filosofía y la física. Entre 1943 y 1946, estudió la obra de Leibniz de una "forma bastante sistemática" . También estudia, en menor grado, los de Kant y Husserl .
De las conversaciones entre Gödel y Einstein surgieron los artículos que Gödel escribió sobre la teoría de la relatividad. El primero, escrito en inglés, se titula Un ejemplo de un nuevo tipo de soluciones cosmológicas a las ecuaciones de Einstein del campo gravitacional , se publica en la revista Reviews of Modern Physics en 1949. En este artículo, propone una solución a las ecuaciones de d 'Einstein, que consiste en la descripción de un universo rotatorio, homogéneo, cerrado y estable, es decir, que no se está expandiendo -, con líneas de tiempo cerradas. Los "universos rotativos" habrían hecho posible el viaje en el tiempo y harían que Einstein dudara de su propia teoría. Hoy en día, este tipo de solución se considera una curiosidad matemática sin mucho interés físico, pero cuyo mérito es haber estimulado la búsqueda de otras soluciones exactas a las ecuaciones de Einstein.
Un segundo artículo sobre la relatividad, publicado en 1949, se titula Una nota sobre la relación entre la teoría de la relatividad y la filosofía idealista examina ciertas consecuencias filosóficas que pueden extraerse de la teoría de la relatividad en relación con la naturaleza del tiempo, "este misterioso y ser aparentemente contradictorio que, además, parece constituir el fundamento de nuestra existencia y la del mundo ” (extracto del mismo artículo). En 1952 publicó su tercer y último trabajo sobre la relatividad, titulado Universos rotatorios en la teoría general de la relatividad , en el que Gödel expone nuevas soluciones a las ecuaciones de Einstein de universos rotativos recién formadas, aunque no todas tienen líneas de tiempo cerradas.
El último trabajo científico sobre lógica matemática firmado por Gödel aparece en forma de trabajo publicado en 1940 por Princeton University Press y que no está escrito directamente por Gödel, ya que es la edición de notas de un curso dictado entre 1938 y 1939 en el Instituto de Estudios Avanzados. El trabajo de unas setenta páginas se titula La consistencia del axioma de elección y la hipótesis del continuo generalizado con los axiomas de la teoría de conjuntos y presenta la resolución parcial del primer problema planteado por David Hilbert , conocido como Hipótesis de Continuidad . Introduce en este trabajo la noción de un universo construible, un modelo de teoría de conjuntos en el que los únicos conjuntos existentes son aquellos que pueden construirse a partir de conjuntos más elementales. Gödel demuestra que tanto el axioma de elección como la hipótesis del continuo generalizado son verdaderas en un universo construible y, por lo tanto, deben ser consistentes. También tiene la intuición de la noción de problema NP-completo .
En Marzo de 1951, Gödel recibe con el físico Julian Schwinger el primer Premio Einstein, luego es nombrado doctor honoris causa en varias universidades de las cuales Yale y Harvard y es galardonado con la Medalla Nacional de Ciencias en 1974. En 1985 un asteroide (3366) Gödel es nombrado en honor por Kurt Gödel.
: documento utilizado como fuente para este artículo.